一般拓扑学基础 张德学 练习3.2 第5题 第5题,

一般拓扑学基础 张德学 练习3.2 第5题 第5题,

（虽然没有提及,但实际我是在考虑X-U）注意到,如果A是紧集,那么A-U作为A的闭子集（在X的拓扑下）也是紧集.假如一些A的交集在U里,那这些(A-U)的交集就是空集.我想证明：如果一些紧集的交集是空集,那么其中有限个紧集的交集是空集.这个必须要对,原结论才对.否则的话,如果这个不对,那么取U为空集,原结论就不对了.这里我需要X是Hausdorff的（否则的话反例在下面会举出来）.假如X是Hausdorff的（或者至少其中某一个紧集继承X的拓扑之后,所得到的拓扑是Hausdorff的）,证明上一段的结论.不妨假设全集就是其中的一个紧集,否则把所有集合都和其中某一个紧集交一下,不影响结论的正确性.这样紧集就都是闭集了,而全集是一个紧集.把上一段那个要证的结论取一下补,就变成,如果一些紧集（也就是闭集）的补集的并是全集,那么其中有限个补集的并是全集,这就是在说全集是个紧集.这样就证明了上一段的结论.由此可以推出原题的结论,这是很显然的.假如X不是Hausdorff的,可以举出反例.让X是一个无穷集,X上的拓扑是余有限拓扑（有限集是闭集,全集是闭集,其余都不是闭集）.这样X的任何一个子集（包括X自身）都是紧集（不难证）,考虑所有的余有限的集合（就是它们在X中的补集是有限集）,这些集合已经知道都是紧集,它们的交是空集,就把U取成空集.这时候这些余有限的紧集里,任何有限个紧集的交都不是空集U.

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