如何证明|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|

如何证明|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|

|a|={a，(a>0)， a，（a=0)， ﹣a，（a<0)，} 　　
因此，有 　　
﹣|a|≤a≤|a| ......① 　　
﹣|b|≤b≤|b| ......② 　　　　
①，②相加得﹣﹙|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b| 　　
即 |a+b|≤|a|+|b| ......③ 　　
易得，当且仅当ab≥0时，③式等号成立。
由③可得|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|......④ 　　
即 |a|-|b|≤|a+b| ......⑤ 　　
对④式，由上面知，当且仅当(a+b)(-b)≥0时等号成立，所以⑤式等号成立的充要条件是b(a+b)≤0。 　　
综合③，⑤
|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|

|三角形证，三边关系

|∵(|a|+|b|)²－(|a-b|)²＝a²＋b²＋2|ab|－a²－b²－2ab＝2|ab|－2ab
∵|ab|≥ab ∴(|a|+|b|)²－(|a-b|)²≥0 即 (|a|+|b|)²≥(|a-b|)²
∵|a|+|b|≥0 |a-b|≥0 ∴|a|+|b|≥|a-b|
∵(|a-b|)²－(|a|-|b|)²＝a²＋b²－2ab－a²－b²＋2|ab|＝2|ab|－2ab
∵|ab|≥ab ∴(|a-b|)²－(|a|-|b|)²≥0 即 (|a-b|)²≥(|a|-|b|)²
∵|a-b|≥0 ∴ |a-b|≥|a|-|b|
∴|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b

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