讨论以下函数在x=0处的连续性

x>0时，f(x)={[1+(1/x)]^(1/x)/e}^(1/x)
x<0时，f(x)=e^(-1/2)
不好意思~题目还是打错了……
x>0时，f(x)={[1+x]^(1/x)/e}^(1/x)
x≤0时，f(x)=e^(-1/2)

不连续，因为函数在x=0处无定义。
有定义是一个函数在一点处连续的先决条件(必要条件)。

为了讨论函数的连续性，往往补充函数在一点处的值（使之有定义）。

对于本题，由于 x→0- 时，f(x) → e^(-1/2)
x→0+ 时，1/x → +∞，f(x) → +∞
所以，无论怎样补充定义，函数在x=0处均不连续。

（疑为函数表达式给错了。是这样吗：x>0时，f(x)={[(1+x)^(1/x)]/e}^(1/x) ？）

∵x＞0时，f(x)={[1+x]^(1/x)/e}^(1/x) ∴两边同时取自然对数时，有： ㏑f(x)=㏑{[1+x]^(1/x)/e}^(1/x) 即㏑f(x)=（1/x²）㏑[1+x]-(1/x) ∴根据洛必达法则： lim（x→0）（1/x²）㏑[1+x]-(1/x) ＝lim（x→0）{㏑[1+x]-x}/（1/x²） ＝lim（x→0）{[1/（x+1）]-1}/2x ＝lim（x→0）-x/(2x²+2x) ＝lim（x→0）-1/(4x+2) ＝-½ lim（x→0）㏑{[1+(1/x)]^(1/x)/e}^(1/x)＝e^(-½ ) ∴函数于x＝0处连续

f(0+)=[(1+x)^(1/x^2)]/e^(1/x)

=[(1+1/t)^(t^2)]/e^t________(t=1/x)

=e^(1/t^2-1/t)/e^t

=e^(-1/2)

二者相等，所以连续

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