如图，菱形ABCD的边长为12厘米，∠A=60°,

如图，菱形ABCD的边长为12cm,∠A=60°，质点P从点A出发沿线路AB-BD做匀速运动，质点Q从点D同时出发沿线路DC-CB-BA做匀速运动。
1）求BD的长；
（2）质点P，Q运动的速度分别是4cm/s,5cm/s.经过12s后，P，Q分别到达M，N两点，若按角的大小进行分类，请你确定△AMN是哪一类三角形，并说明理由；
（3）设题（2）中的质点P，Q分别从M，N同时沿原路返回，质点P的速度不变，质点Q的速度改变为acm/s.经过3s后，P，Q分别到达E，F两点，若△BEF与题（2）中的△AMN相似，试求a的值。

1)锐角为60的菱形连上对角线BD，则两侧均为等边三角形，所以BD=AB=24cm
2)经过12s以后，质点P运动了4×12=48cm。沿AB-BD路线运动48cm刚好到达D点，所以M点就是D点。质点Q运动了5×12=60cm。沿DC-CB-BA量取60cm即到了AB的中点的位置，即为N点。那么AMN为直角三角形。理由很简单，等边三角形AB边上的中线即为高线。
3）这一问较难
沿原路返回，质点P速度不变，则3s后运动了4×3=12cm，即BD边的中点，即为E点。与使BEF与AMN相似，可能有三种情况：
a） F点为BN的中点，此时Q质点运动了24/4=6cm，所以速度为6/3=2cm/s
b） F点为BC边的1/4分点（靠近B点），此时Q运动了18cm，速度为6cm/s
c） F点与C点重合，此时Q运动了12+24=36cm,速度为12cm/s
按照我说的答案在图上画出运动的过程，标出各个位置点就明白了。

解：（1）∵四边形abcd是菱形 ∴ab=bc又 ∵∠b=60°， ∴△abc是等边三角形， 因而边长是6．设点p，q从出发到相遇所用的时间是x秒． 根据题意得到x+2x=18，解得x=6秒． （2）若△apq是等边三角形， 此时点p在bc上，点q在cd上，且△adq≌△acp， 则cp=dq，即6-x=2x-18，解得x=8； （3）①当0≤x＜3时， y=s△ap1q3=12ap1×aq1×sin60°=12x2x32=32x2． ②当3≤x＜6时， y=s△ap1q2 =12ap2×p2q2 =12ap2×cq2sin60° =12x(12-2x)32 =-32x2+33x（7分） ③当6≤x≤9时，设p3q3与ac交于点o． （解法一） 过q3作q3e∥cb，则△cq3e为等边三角形． ∴q3e=ce=cq3=2x-12∵q3e∥cb∴△cop3∽△eoq3 ∴ocoe=cp3eq3=x-62x-12=12∴oc=13ce=13(2x-12) y=s△aqp3 =s△acp3-s△cop3 =12cp3×acsin60°-12oc×cp3sin60° =12(x-6)×6×32-12×13(2x-12)(x-6)×32 =-36x2+732x-153； （解法二） 如图，过点o作of⊥cp3于点f，og⊥cq3，于点g， 过点p3作p3h⊥dc交dc延长线于点h． ∵∠acb=∠acd∴of=og 又cp3=x-6，cq3=2x-12=2（x-6）， ∴s△cqp3=12s△coq3 ∴s△cop3=13s△cp3q3=13×12×cq3×p3h=13×12(2x-12)(x-6)×32=36(x-6)2 又s△acp3=12cp3×ac×sin60° =12(x-6)×6×32=332(x-6) ∴y=s△aop3 =s△acp3-s△ocp3=332(x-6)-36(x-6)2 =-36x2+732x-153

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