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高二不等式证明题 要过程啊!

答案:2  悬赏:80  手机版
解决时间 2021-05-14 22:06
  • 提问者网友:欲望失宠
  • 2021-05-13 23:11

已知a,b都是正数,求证 2/ (1/a+1/b)  ≤根号ab≤ 根号下 (a平方+b平方)/2

当且仅当a=b时等号成立。

最佳答案
  • 五星知识达人网友:duile
  • 2021-05-14 00:28
这是个定理的证明吧!
全部回答
  • 1楼网友:不如潦草
  • 2021-05-14 02:05

证明:这道题要用到基本不等式,也就是说我们已经知道:√ab≤(a+b)/2了。

然后在分布进行。

 ①2/ (1/a+1/b)通分一下变成2ab/(a+b),再由基本不等式得:2ab/(a+b)<=2ab/(2√ab)=√ab。当且仅当……时等号成立。前面部分就证明完了。

②平方后相减:(a^2 + b^2) / 2 - (a/2 + b/2)^2 = (a - b)^2 / 4 >= 0,故√((a^2 + b^2) / 2) >= (a + b)/2.当且仅当……时等号成立。

所以:2/ (1/a+1/b)  ≤根号下ab≤(a+b)/2≤ 根号下 (a平方+b平方)/2 。

当且仅当a=b时等号成立。

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