已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求证:a>0,b>0,c>0

用反证法。

急！！！！！

假设a、b、c不都是正数。
若abc>0，则a、b、c中只能是两个负数、一个正数。
不妨假设a<0、b<0、c>0。
则ab>0、-a-b>0
因为a+b+c>0
所以c>-a-b>0
-c(a+b)>(a+b)^2
由ab+bc+ca>0可得：ab>-c(a+b)>(a+b)^2
a^2+b^2<-ab<0，矛盾。
所以，a<0、b<0、c>0不成立。
因此，a>0、b>0、c>0。

由abc>0 只有2种可能：一是三个全为正，二是1正2负 如果是第二种情况，那么由对称性不妨假设 a>0, b<0,c<0 那么 a+b > -c >0 而ab+bc+ca = ab+ (a+b) c <0 因为都是一正一负相乘

反证法证明:假设abc中至少不为正,则,abc中有两个为负,又因为a b c>0,即c>-(a b)>0,又因为ab bc ca=ab (a b)c>0,即ab>-c(a b)>(a b)^2>0,而(a b)^2>4ab>ab>0,矛盾.故假设不成立,故得证

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