有几种正多面体？为什么只有这几种呢？

有几种正多面体？为什么只有这几种呢？

正多面体的种数很少。多面体可以有无数，但正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。
证明
　　顶点数V，面数F，棱数E
　　设正多面体的每个面是正n边形，每个顶点有m条棱。棱数E应是面数F与n的积的一半（每两面共用一条棱），即
　　nF=2E -------------- ①
　　同时，E应是顶点数V与m的积的一半，即
　　mV=2E -------------- ②
　　由①、②，得
　　F=2E/n, V=2E/m,
　　代入欧拉公式V+F-E=2，
　　有
　　2E/m+2E/n-E=2
　　整理后，得1/m+1/n=1/2+1/E.
　　由于E是正整数，所以1/E>0。因此
　　1/m+1/n>1/2 -------------- ③
　　说明m,n不能同时大于3，否则③不成立。另一方面，由于m和n的意义（正多面体一个顶点处的棱数与多边形的边数）知，m≥3且n≥3。因此m和n至少有一个等于3
　　当m=3时，因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数，所以n只能是3，4，5
　　同理n=3，m也只能是3，4，5
　　所以有以下几种情况：
　　n m 类型
　　3 3 正四面体
　　4 3 正六面体
　　3 4 正八面体
　　5 3 正十二面体
　　3 5 正二十面体
　　由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出，而不可能有其他种类的正多面体
　　所以正多面体只有5种

5种

有n种

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