由级数柯西收敛准则判断下列级数的敛散性。

如题1-1/2+1/4-1/6+1/8.....；答案是收敛。。我也知道是收敛。。问题是用级数柯西收敛准则来判断的 要如何用数学方法描述。。简单的说就是怎么写，。。谢谢

|　　关键是下面的不等式：
若 p 是奇数，有
　　　|∑(k=1~p)[(-1)^(n+k-1)]/(n+k)| = 1/(n+1)-[1/(n+2)-1/(n+3)]-…-[1/(n+p-1)-1/(n+p)]；
若 p 是偶数，有
　　　|∑(k=1~p)[(-1)^(n+k-1)]/(n+k)| = 1/(n+1)-[1/(n+2)-1/(n+3)]-…-1/(n+p)，
都有
　　　|∑(k=1~p)[(-1)^(n+k-1)]/(n+k)| < 1/(n+1) < 1/n。
以下用柯西收敛准则的语言来叙述（留给你）……

用交错级数收敛的莱布尼茨判别法即可: 因 （1）a<n>=1/n>a<n+1>=1/(n+1), （2）lim<n→∞>a<n>=lim<n→∞>1/n=0, 故交错级数1-1/2+1/4-1/6+1/8.....收敛。

这道题应该使用莱布尼茨收敛准则来证明，根据莱布尼茨收敛准则，如果式子中除去(-1)^(n-1)这一项，（也就是序列n^2/(2n^2+1)），如果这个序列是一个单调递减的收敛序列，那么在这个序列乘以(-1)^n或者(-1)^(n+1)所形成新序列的级数也是收敛的。显然原式是一个收敛于1/2的单调递减序列，符合莱布尼茨收敛准则的前提条件。 如果一定要用柯西收敛准则来证明，那么窃以为可以先证明一下莱布尼茨收敛准则，会复杂一些，但是这个证明在网上很容易找到。

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