证明方程X^n+X^n-1+....+X^2+X=1在（0,1）内必有唯一实根Xn,并求limXn在n趋向于无穷时的极限（n=2,3,4....
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解决时间 2021-04-01 16:50
- 提问者网友：姑娘长的好罪过
- 2021-03-31 19:14
证明方程X^n+X^n-1+....+X^2+X=1在（0,1）内必有唯一实根Xn,并求limXn在n趋向于无穷时的极限（n=2,3,4....
最佳答案
- 五星知识达人网友：我住北渡口
- 2021-03-31 19:57
令f(x)=X^n+X^n-1+....+X^2+X-1,
则f(0)=-1<0,f(1)=n-1>=2-1=1
显然f(x)是单增函数，所以在（0,1）内必有唯一实根Xn
左边有
我们说看到Xn是关于n单减的，下面用反证法证明：
如若不然，则存在k>=2,使 Xk+1>=Xk
有 1 = (Xk+1)^(k+1) + (Xk+1)^(k)+ ... +Xk+1 >= (Xk+1)^(k+1)+(Xk)^(k)+ ... +Xk =(Xk+1)^(k+1)+1>1
得到了1>1矛盾。
所以Xn单减，而有下界是显然的，所以Xn收敛，设Xn→x
对于左边用等比数列求和有 Xn(1 - (Xn)^n)/(1-Xn)=1
n→∞有 x/(1-x)=1
解得x=1/2
所以Xn→1/2
则f(0)=-1<0,f(1)=n-1>=2-1=1
显然f(x)是单增函数，所以在（0,1）内必有唯一实根Xn
左边有
我们说看到Xn是关于n单减的，下面用反证法证明：
如若不然，则存在k>=2,使 Xk+1>=Xk
有 1 = (Xk+1)^(k+1) + (Xk+1)^(k)+ ... +Xk+1 >= (Xk+1)^(k+1)+(Xk)^(k)+ ... +Xk =(Xk+1)^(k+1)+1>1
得到了1>1矛盾。
所以Xn单减，而有下界是显然的，所以Xn收敛，设Xn→x
对于左边用等比数列求和有 Xn(1 - (Xn)^n)/(1-Xn)=1
n→∞有 x/(1-x)=1
解得x=1/2
所以Xn→1/2
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