高中数学：已知数列{log2^an}（n是正整数）是等差数列，a1=2,a3=8

高中数学：已知数列{log2^an}（n是正整数）是等差数列，a1=2,a3=8

解：
(1)
设数列{log2(an)}公差为d
log2(a3)-log2(a1)=2d=log2(8)-log2(2)=3-1=2
d=1
log2(an)=log2(a1) +(n-1)d=log2(2)+(n-1)=1+n-1=n
an=2ⁿ
n=1时，a1=2；n=3时，a3=2³=8，同样满足
数列{an}的通项公式为an=2ⁿ
(2)
1/an=1/2ⁿ
Sn=1/a1+1/a2+...+1/an
=1/2 +1/2²+...+1/2ⁿ
=(1/2)(1-1/2ⁿ)/(1-1/2)
=1- 1/2ⁿ
nSn=n -n/2ⁿ
Tn=S1+2S2+...+nSn
=(1+2+...+n) -(1/2 +2/2²+...+n/2ⁿ)
令Cn=1/2 +2/2²+...+n/2ⁿ
则Cn/2=1/2²+2/2³+...+(n-1)/2ⁿ+ n/2^(n+1)
Cn -Cn/2=Cn/2=1/2 +1/2²+...+1/2ⁿ -n/2^(n+1)
=(1/2)(1-1/2ⁿ)/(1-1/2) -n/2^(n+1)
=1- 1/2ⁿ -n/2^(n+1)
Cn=2 -1/2^(n-1) -n/2ⁿ
Tn=(1+2+...+n)-Cn=n(n+1)/2 +n/2ⁿ +1/2^(n-1) -2

1>a1=2,a3=8
因为是等差数列,设公差为d。由题意可得 a1+2d=a3
解得d=3
an=a1+(n-1)d=3n-1

a1=2^b1 = 2;a3=2^b3=8 .得到b1=1,b3=3;
b1.b2.b3是等差数列。可以知道等差d=1,所以an=2^n;
（2）的过程不写了，告诉你结果：Tn=(n+1)n/2-2+2/(2^(n-2))+n/2^n;

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