已知函数f（x）=-x3+6x2-9x．若过点P（-1，m）可作曲线y=f（x）的切线有三条，求实数m的取值范围．

已知函数f（x）=-x3+6x2-9x．若过点P（-1，m）可作曲线y=f（x）的切线有三条，求实数m的取值范围．

解：设过点P（-1，m）的切线切曲线于点（x0，y0），
则切线的斜率k=f'（x0）=-3x02+12x0-9…（2分）
所以切线方程为y=（-3y02+12x0-9）（x+1）+m…（4分）
故y0=（-3x02+12x0-9）（x0+1）+m=-x03+6x02-9x0?…（5分）
要使过P可作曲线y=f（x）的切线有三条，
则方程（-3x02+12x0-9）（x0+1）+m=-x03+6x02-9x0?有三个不同实数根…（7分）
∴m=2x03-3x02-12x0+9?
令g（x）=2x03-3x02-12x0+9
则g'（x）=6x2-6x-12=6x（x-1）（x-2）…（10分）
当x=-1，2为g（x）的极值大、极小值点，
又g（x）有极大值16；g（x）有极小值-11…（12分）
故满足条件的m的取值范围-11＜m＜16???…（14分）解析分析：先设过点P（-1，m）的切线切曲线于点（x0，y0），将过点P（-1，m）可作曲线y=f（x）的三条切线转化为：方程（-3x02+12x0-9）（x0+1）+m=-x03+6x02-9x0?有三个不同实数根，记g（x）=2x03-3x02-12x0+9，g'（x）=6x2-6x-12=6x（x-1）（x-2），下面利用导数研究函数g（x）的极值点，从而求得m的范围．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．

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