数学啊。 Jj563689

数学证明周期！若f(x)是偶函数且关于x=a对称，那么f(x)的周期是2a，证明它。若f(x)是寄函数，也关于x=a对称，那么它的周期是4a,也证明一下

（1）

证明：

因为f(x)关于x=a对称！

我们设(y,a-x)在y=f(x)上，

又因为  关于x=a对称，则(y,a+x)也在y=f(x)上;

也就是说：

y=f(a+x);

y=f(a-x);

这样就有：

f(a+x)=f(a-x);********************************(1)

因为：
f(x)为偶函数：

所以：f(x)=f(-x);*************************************(2)

由(1)(2)得：
f(a+x)=f(a-x)=f(x-a);

令x+a=t;===>x=t-a

这样来：

f(t)=f(t-2a)==>

f(m)=f(m+2a);

所以f(x)周期为2a

（2）.

证明：

因为：f(x)为奇函数：
所以：f(x)=-f(-x);

又因为：

f(a+x)=f(a-x)=-f(x-a)

==>f(a+x)=-f(x-a);

令x-a=t;==>x=t+a;

f(t)=-f(t+2a)=-(-f(t+2a+2a))=f(t+4a);

如是：

证明了 f(x) 如果是奇函数  则周期就是4a

1.由对称性有f(x)=f(2a-x)

   是偶函数有f(x)=f(-x)

   所以f(2a-x)= f(-x)

   用-x代替上式的x，得  f(x)=f(x+2a)

2.由对称性和奇函数有f(x)=f(2a-x)=-f(-x)=-f(x-2a)

   所以有f(-x)=f(x-2a)

由上上式第一个等号有f(-x)=f(2a+x)

所以f(2a+x)=f(x-2a)

用x+2a代替上式的x,有f(x)=f(x+4a)

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