已知函数f（x）=mlnx+nx+1，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=3x-4．（Ⅰ）求函数f（x）的解

已知函数f（x）=mlnx+nx+1，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=3x-4．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数g（x）=af（x）-x2在（0，1）上有极值点x0，求a的取值范围．

（Ⅰ）f（x）=mlnx+
n
x +1的导数f′（x）=
m
x -
n
x2 ，
由于曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=3x-4，
则f（1）=-1，且f′（1）=3即有n+1=-1，且m-n=3，
解得m=1，n=-2．
即函数f（x）的解析式为f（x）=lnx-
2
x +1；
（Ⅱ）函数g（x）=af（x）-
x
2 =alnx-
2a
x +a-
x
2 ，
导数g′（x）=
a
x +
2a
x2 -
1
2 =
2ax+4a?x2
2x2 ，
由于g（x）在（0，1）上有极值点x0，则g′（x）=0在（0，1）上有解，
令h（x）=2ax+4a-x2，即有h（x）=0在（0，1）有解，
即2a=
x2
x+2 =（x+2）+
4
x+2 -4，由于2＜t=x+2＜3，（t+
4
t -4）′=1-
4
t2 ＞0，则（2，3）为增区间，
则t+
4
t -4∈（0，
1
3 ）．即有0＜2a＜
1
3 ，则有0＜a＜
1
6 ．
故a的取值范围是（0，
1
6 ）．

(1) f'(x)=x^2+2mx+n g(x)=x^2+(2m-2)x+(n-3) 在x=-2处取得最小值-5 ∴g(x)对称轴=-(m-1)=-2 m-1=2 m=3 g(x)=x^2+4x+(n-3) g(-2)=4-8+n-3=-5 n=2 ∴f(x)=1/3x^3+3x^2+2x (2) m+n<10 f(x)=1/3x^3+mx^2+nx 令f‘(x)=x^2+2mx+n=0 f(x)的单调递减区间的长度是正整数 说明f‘(x)=x^2+2mx+n=0的两根 x1-x2是正整数 利用韦达定理 x1-x2 =√(x1-x2)^2 =√[(x1+x2)^2-4x1x2] =√(4m^2-4n) =2√(m^2-n)是正整数 即m^2-n是完全平方数 m+n<10且n，m都为正整数 这里只能试数 m=8,n=1 m=7,n=1,2 .... m=1,n=1,,2,...8 发现只能是 m=3,n=5 或m=2,n=3 检验 f‘(x)=x^2+6x+5=（x+1)(x+5) 或f‘(x)=x^2+4x+3=(x+3)(x+1) b-a=4或2 满足条件 如果您认可我的回答，请点击“采纳为满意答案”,谢谢！

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