如何用数学归纳法证明"算术平均值大于等于几何平均值

如何用数学归纳法证明"算术平均值大于等于几何平均值

n次根号(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)原不等式即证：n次根号(a1a2a3..an)*(1/a1+1/a2+..+1/an)≥n左边=n次根号[a2a3..an/a1^(n-1)]+n次根号+[a1a3a4..an/a2(n-1)]+n次根号[a1a2a4...an/a3^(n-1)]+...n次根号[a1a2a3...a(n-1)/an^(n-1)]由2得 和≥n*n次根号(它们的积) 所以左边≥n*n次根号(1)=n所以(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)

an>0 (a0+a1+a2+...+an)/2>=根号(a0a1a2...an) n=1时,即证(a0+a1)/2>=根号(a0a1) 根据基本不等式,a0+a1>=2根号（a0a1) (a0+a1)/2>=根号(a0a1) n=k时,（a0+a1+...+ak)/2>=根号（a0a1...ak)成立 要证明(a0+a1+...+ak+a(k+1))/2>=根号(a0a1...aka(k+1)) 令a0+a1+...+ak=t a0a1...ak=n k+a(k+1)>=2根号(k* 要证明(a0+a1+...+ak+a(k+1))/2>=根号(a0a1...aka(k+1)) (a0+a1+...+ak）+a(k+1)>=2根号(a0+a1+...+ak)*a(k+1)) (a0+a1+...+ak)a(k+1)>=2根号（a0a1...ak)*a(k+1)>=2根号(a0a1...aka(k+1)) 因此算术平均值大于等于几何平均值

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