直线l经过点P（3，2）且与x轴正半轴及y轴正半轴分别交于点A、B．（1）当△AOB面积最小时，求直线l的方程

直线l经过点P（3，2）且与x轴正半轴及y轴正半轴分别交于点A、B．（1）当△AOB面积最小时，求直线l的方程．（2）已知直线m的方程为5x+y-1=0，在（1）的条件下，求直线l到直线 m的角θ的大小．

（1）设直线l的方程y-2=k（x-3），∴A(3?
2
k ，0)，B（0，2-3k）．
设△AOB面积为S，∴S＝
1
2 ab＝
1
2 (3?
2
k )(2?3k)＝
1
2 [12+(?9k?
4
k )]．（4分）
∵直线l与x、y轴正半轴相交，∴k＜0．∴-9k＞0，?
4
k ＞0，
∴-9k-
4
k ≥2



(?9k)(?
4
k ) ＝2



36 ＝12（6分）
当且仅当-9k=-
4
k ，即k=-
2
3 时取“=”，即S有最小值，
∴所求直线方程为y-2=-
2
3 （x-3），即2x+3y-12=0  （8分）
（2）∵直线m：5x+y-1=0的斜率k′=-5，由（1）知直线l的斜率k=-
2
3
∴tanθ=
k′?k
1+k′k ＝
?5?(?
2
3 )
1+(?5)?(?
2
3 ) ＝?1，又θ∈（0，π）故θ=
3
4 π  （12分）
注：第（1）问“截距式”及求最值的其它方法请参照给分．

设所求直线的斜率为k

∵直线在x轴和y轴的截距均为正，

∴k＜0

∵直线经过p(4,2)

∴该直线方程为y-2=k(x-4)

即y=kx+2-4k

令x=0，则y=2-4k，即与y轴交于点b(0,2-4k)

令y=0，则x=4-2/k，即与x轴交于点a(4-2/k，0)

∴|oa|=4-2/k，|ob|=2-4k

∴△aob的面积为：

s=1/2×(4-2/k)×(2-4k)

=8-8k-2/k

=8+(-8k)+(-2/k)

≥8+2根号下[(-8k)×(-2/k)]

=8+8

=16

当-8k=-2/k时s有最小值16

∴k²=1/4

∴k=-1/2

∴满足条件的直线方程为：y=-1/2x+4

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