数学：因式分解的要求
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解决时间 2021-01-20 02:58
- 提问者网友：留有余香
- 2021-01-19 15:23
数学：因式分解的要求
最佳答案
- 五星知识达人网友：患得患失的劫
- 2021-01-19 15:41
数学的因式分解是把一个整式分解成几个整式相乘的形式。常用的方法有
1、提取公因式法
2、十字相乘法
3、公式法
4、配方法
5、换元法
6、侍定系数法
1、提取公因式法
2、十字相乘法
3、公式法
4、配方法
5、换元法
6、侍定系数法
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- 1楼网友：枭雄戏美人
- 2021-01-19 18:22
把一个多项式化成几个整式积的形式叫做因式分解.根椐这一定义，因式分解的结果应该满足如下五点要求：
一、因式分解应是恒等变形.
例1 分解因式13 x2+2x－9.
有些同学把多项式各项都乘以3,得x2+6x－27.再分解为（x－3）(x+9).显然，该解法混淆了因式分解的恒等变形与方程的同解变形，从而得出了错误结果.正解应是：
原式=13 ( x2+6x－27)= 13 (x－3)(x+9)
二、从形式上看，最后结果应是一些因式的乘积
例2 分解因式x2－9+8x
有些同学只注意到前两项运用平方差公式，得（x+3）(x－3)+8x.结果从形式上看右式不是乘积形式,显然是错误的.正解应是：
原式= x2+8x－9=(x－1)(x+9)
三、每个因式必须是整式.
例3 分解因式x4+4y4.
有些同学把它分解为x4(1+ )，分解的结果虽然是乘积形式，也是恒等变形，但由于第二个因式不是整式，所以不能算作因式分解.正确应是：
原式=x4+4x2y2+4y2－4x2y2=(x2+2y2) －4x2y2
=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2－2xy).
四、必须分解到不能再分解为止.
例4 想一想，下面的分解因式彻底吗？
（x+y）2－(xy+1)2
=(x+y+xy+1)(x+y－xy－1)
答：不彻底，应为（x+1） (y+1) (x－1) (1－y)
值得说明的是，一个多项式能否继续分解，与指定的数集有关.例如，多项式x2－2在有理数范围内不可分解，在实数范围内则可分解成（x+2 ）（x－2 ）. 如果题目中无特别说明，一般指在有理数范围内分解因式.
五、形式最简化，即每个多项式因式不能有同类项，相同因式应写成幂的形式.
例5分解因式：
（1）（a－b）2+2a(a－b)
(2)(x2+3x)2－(x+3)2
(1)式不能分解为(a－b)[(a－b)+2a],应化简为（a－b）(3a－b);(2)式不能分解为（x+3）(x+1)(x+3)(x－1),应写成（x+3）2(x+1)(x－1)
公式法中三个公式是初中阶段最基本的三个公式，灵活掌握好运用公式法分解因式对今后的运算起到相当大的帮助，依据口诀学习运用公式法分解因式，能起到事半功倍的作用。运用公式法分解因式的口诀为：一提、二断、三套、四查。它的含义为：一提：提取一个公因式；二断：根据两个标准判断，即一根据多项式的项数，二根据多项式中间项符号；三套：套用三个公式中的一个，即平方差、和的完全平方、差的完全平方中的一个；四查：检查四个内容，一查数字、字母及指数，二查符号，三查项数，四查分解是否彻底
一、因式分解应是恒等变形.
例1 分解因式13 x2+2x－9.
有些同学把多项式各项都乘以3,得x2+6x－27.再分解为（x－3）(x+9).显然，该解法混淆了因式分解的恒等变形与方程的同解变形，从而得出了错误结果.正解应是：
原式=13 ( x2+6x－27)= 13 (x－3)(x+9)
二、从形式上看，最后结果应是一些因式的乘积
例2 分解因式x2－9+8x
有些同学只注意到前两项运用平方差公式，得（x+3）(x－3)+8x.结果从形式上看右式不是乘积形式,显然是错误的.正解应是：
原式= x2+8x－9=(x－1)(x+9)
三、每个因式必须是整式.
例3 分解因式x4+4y4.
有些同学把它分解为x4(1+ )，分解的结果虽然是乘积形式，也是恒等变形，但由于第二个因式不是整式，所以不能算作因式分解.正确应是：
原式=x4+4x2y2+4y2－4x2y2=(x2+2y2) －4x2y2
=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2－2xy).
四、必须分解到不能再分解为止.
例4 想一想，下面的分解因式彻底吗？
（x+y）2－(xy+1)2
=(x+y+xy+1)(x+y－xy－1)
答：不彻底，应为（x+1） (y+1) (x－1) (1－y)
值得说明的是，一个多项式能否继续分解，与指定的数集有关.例如，多项式x2－2在有理数范围内不可分解，在实数范围内则可分解成（x+2 ）（x－2 ）. 如果题目中无特别说明，一般指在有理数范围内分解因式.
五、形式最简化，即每个多项式因式不能有同类项，相同因式应写成幂的形式.
例5分解因式：
（1）（a－b）2+2a(a－b)
(2)(x2+3x)2－(x+3)2
(1)式不能分解为(a－b)[(a－b)+2a],应化简为（a－b）(3a－b);(2)式不能分解为（x+3）(x+1)(x+3)(x－1),应写成（x+3）2(x+1)(x－1)
公式法中三个公式是初中阶段最基本的三个公式，灵活掌握好运用公式法分解因式对今后的运算起到相当大的帮助，依据口诀学习运用公式法分解因式，能起到事半功倍的作用。运用公式法分解因式的口诀为：一提、二断、三套、四查。它的含义为：一提：提取一个公因式；二断：根据两个标准判断，即一根据多项式的项数，二根据多项式中间项符号；三套：套用三个公式中的一个，即平方差、和的完全平方、差的完全平方中的一个；四查：检查四个内容，一查数字、字母及指数，二查符号，三查项数，四查分解是否彻底
- 2楼网友：野味小生
- 2021-01-19 16:46
[编辑本段]概述
定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也作分解因式。
意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
分解因式与整式乘法互为逆变形。
[编辑本段]因式分解的方法
因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法，剩余定理法等。
[编辑本段]基本方法
⑴提公因式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式
⑵公式法
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；
完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；
注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；
立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；
完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．
定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也作分解因式。
意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
分解因式与整式乘法互为逆变形。
[编辑本段]因式分解的方法
因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法，剩余定理法等。
[编辑本段]基本方法
⑴提公因式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式
⑵公式法
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；
完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；
注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；
立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；
完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．
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