已知圆M:X2+(Y-2)2=1,直线L:X-2Y=0,点P在直线上,过点P作圆M的切线PA、PB,切点为A

已知圆M:X2+(Y-2)2=1,直线L:X-2Y=0,点P在直线上，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B
（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标
（2)若点P的坐标为（2，1），过点P做直线与圆M交于C、D两点，当CD=根号2时，求直线CD方程。
（3）求证：经过A、P、M三点的圆必过定点，并求所有定点的坐标

(1)∠APM=∠MPB=(1/2)∠APB=60°/2=30°
MA⊥AP,MA=1,|MA|/|MP|=sin∠APM=sin30°=1/2,
|MP|=2|MA|=2
M(0,2)，设P(2y0,y0)(P在直线L:X-2Y=0上),
则|MP|=√{[2(y0)-0]^2+[(y0)-2]^2}=2,
5(y0)^2-4(y0)=0,y0=0或y0=4/5
P的坐标为(0,0),或(8/5,4/5)
(2)设CD中点为N，则N平分CD且MN⊥CD，|MD|=1,
|ND|=(1/2)|CD|=(√2)/2,由勾股定理得
|MN|=√(|MD|^2-|ND|^2)=(√2)/2
设直线CD方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0,
圆心M(0,2)到直线CD的距离|MN|=(√2)/2
由点到直线距离公式得
|MN|=|k*0-2+1-2k|/√[(k^2)+1]=(√2)/2,
|1+2k|/√[(k^2)+1]=(√2)/2,
7(k^2)+8k+1=0
k=-1或k=-1/7
直线CD方程为y-1=-(x-2)或y-1=-(1/7)(x-2)
即x+y-3=0或x+7y-9=0
(3)显然经过A、P、M三点的圆必过定点M(0,2),
因为MA⊥AP,所以过A、P、M三点的圆的圆心为MP中点，圆直径为MP
过M作MQ⊥直线L,垂足为Q,则过A、P、M三点的圆必过定点Q
设Q(2y0,y0)(Q在直线L:X-2Y=0上),
直线L:X-2Y=0斜率为1/2,则直线MQ斜率为[(y0)-2]/[2(y0)-0]=-2,
y0=2/5,Q坐标为(4/5,2/5)
即点P在直线运动时，经过A、P、M三点的圆必过定点M(0,2)和Q(4/5,2/5)

解：（1）设P（2m，m），由题可知MP= 1sin30°=2，即（2m）2+（m-2）2=4，…（3分） 解得：m=0，m= 45故所求点P的坐标为P（0，0）或P( 85， 45)．　 　　…（6分） （2）设P（2m，m），MP的中点Q(m， m2+1)，因为PA是圆M的切线 所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆， 故其方程为：(x-m)2+(y- m2-1)2=m2+( m2-1)2…（9分） 化简得：x2+y2-2y-m（2x+y-2）=0，此式是关于m的恒等式， 故x2+y2-2y=02x+y-2=0​解得x=0y=2​或x= 45y= 25​即（0，2）和（45， 25）．…（14分）

1

设p（2m，m），由题可知mp=2，所以（2m）2+（m-2）2=4， 解之得：m=0或m= 4 5 ， 故所求点p的坐标为p（0，0）或p（ 8 5 ， 4 5 ）． （2）设直线cd的方程为：y-1=k（x-2），易知k存在， 由题知圆心m到直线cd的距离为 2 2 ，所以 2 2 ＝ |?2k?1| 1+k2 ， 解得，k=-1或k=- 1 7 ，故所求直线cd的方程为：x+y-3=0或x+7y-9=0． （3）设p（2m，m），mp的中点q（m， m 2 +1）， 因为pa是圆m的切线，所以经过a，p，m三点的圆是以q为圆心，以mq为半径的圆， 故其方程为：（x-m）2+（y- m 2 -1）2=m2+（ m 2 -1）2， 化简得：x2+y2-2y-m（2x+y-2）=0，此式是关于m的恒等式， 故x2+y2-2y=0且（2x+y-2）=0， 解得 x＝0 y＝2 或 x＝ 4 5 y＝ 2 5 所以经过a，p，m三点的圆必过定点（0，2）或（ 4 5 ， 2 5 ）．

如以上回答内容为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！

点此我要举报以上问答信息