0)上的点p到左焦点的距离等于到右准线的距离,求此椭圆的离心率e的最小值

0)上的点p到左焦点的距离等于到右准线的距离,求此椭圆的离心率e的最小值

设P到右准线的距离为d,则有|PF1|=d,|PF2|=ed 且 d≥a²/c - a (1)由 |PF1|+|PF2|=2a 得d+ed=2ad(1+e)=2a由于d≥a²/c - a ,所以(a²/c - a)(1+e)≤2a(1/e -1)(1+e)≤2e²+2e-1≥0从而 √2 -1≤e======以下答案可供参考======供参考答案1:令P(x,y),则P到左焦点的距离为(a+ex),到右准线x=a^2/c的距离为(a^2/c-x)所以a+ex=a^2/c-x，即x=[a(1-e)]/[e(1+e)]≤a.所以e^2+2e-1≥0,解之得：1≥e≥[√2-1]/2,(另一个值为负值，舍去）供参考答案2:可设左右焦点分别为F1, F2.且设点P的横坐标为x,[[1]]由椭圆第一定义可知PF1+PF2=2a.∴PF1=2a-PF2.[[2]]易知,点P到右准线的距离为(a²/c)-x.[[3]]由椭圆第二定义可知PF2=e[(a²/c)-x]=a-ex.[[4]]结合题设可得PF1=2a-PF2=2a-(a-ex)=a+ex=(a²/c)-x即有a+ex=(a²/c)-x该式两边乘以ac,可得a²c+c²x=a³-acx(a+c)cx=a²(a-c)x=[a²(a-c)]/[(a+c)c]易知,恒有x≤a∴[a²(a-c)]/[(a+c)c]≤a∴a²-ac≤c²+ac(a-c)²≤2c²a-c≤√2ca≤(1+√2)ce=c/a≥1/(1+√2)=√2-1∴(e)min=√2-1供参考答案3:设点P到右焦点的距离为d（a-c=供参考答案4:√2-1

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