高中必用的数学公式有哪些？

高三了要努力拼搏，不让数学拉后退…

高中常用数学公式 高中常用数学公式一.代数 1.绝对值与不等式 a, a ≥ 0 绝对值定义: | a |= a, a < 0 ⑴ a 2 =| a | , | a |=| a | ⑵ | a |≤ a ≤| a | ⑶ 若 | a |≤ b (b > 0) ,则 b ≤ a ≤ b ⑷ 若 | a |≥ b (b > 0) ,则 a ≥ b 或 a ≤ b ⑸ (三角不等式) | a + b |≤| a | + | b | , | a b |≥| a | | b | ⑹ | ab |=| a | | b | ⑺ | a |a| |= (b ≠ 0) b |b| 2.指数运算 ⑴ a x a y = a x+ y ⑶ (a x ) y = a xy a x ax ⑸ ( ) = x b b ⑵ ax = a x y y a ⑷ (ab) x = a x b x ⑹ a = ax y x y ⑺ ax = 1 ax ⑻ a0 = 1 3.对数运算( a > 0, a ≠ 1 ) ⑴ 零和负数没有对数 ⑶ log a 1 = 0 ⑸ log a x = log a x log a y y ⑵ log a a = 1 ⑷ log a ( xy ) = log a x + log a y ⑹ log a xb = b log a x ⑻ 换底公式 log a y = ⑺ 对数恒等式 a loga y = y ⑼ e = 2.718 281 828 459 log b y logb a ⑽ lg e = log10 e = 0.434 294 481 903 1 ⑾ ln10 = log e 10 = 2.30 258 509 299 4.乘法及因式分解公式 ⑴ ( x + a )( x + b) = x + (a + b) x + ab ⑵ ( x ± y ) 2 = x 2 ± 2 xy + y 2 ⑶ ( x ± y )3 = x 3 ± 3 x 2 y + 3 xy 2 ± y 3 ⑷ ( x + y + z ) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy + 2 yz + 2 xz ⑸ ( x + y + z )3 = x 3 + y 3 + z 3 + 3 x 2 y + 3 xy 2 + 3 y 2 z + 3 yz 2 + 3 x 2 z + 3 xz 2 + 6 xyz ⑹ x 2 y 2 = ( x + y )( x y ) ⑺ x3 ± y 3 = ( x ± y )( x 2 xy + y 2 ) ⑻ x n y n = ( x y )( x n 1 + x n 2 y + x n 3 y 2 + + xy n 2 + y n 1 ) ⑼ x n y n = ( x + y )( x n 1 x n 2 y + x n 3 y 2 + xy n 2 y n 1 ) (n 为偶数) ⑽ x n + y n = ( x + y )( x n 1 x n 2 y + x n 3 y 2 xy n 2 + y n 1 ) (n 为奇数) ⑾ x3 + y 3 + z 3 3 xyz = ( x + y + z )( x 2 + y 2 + z 2 xy yz xz ) ⑿ x 4 + x 2 y 2 + y 4 = ( x 2 + xy + y 2 )( x 2 xy + y 2 ) 5.数列 ⑴ 等差数列 通项公式 an = a1 + (n 1)d ( a1 为首项,d 为公差) 前 n 项和 S n = 特例: 1 + 2 + 3 + + (n 1) + n = n(n + 1) 2 (a1 + an )n n(n 1) = na1 + d 2 2 1 + 3 + 5 + + (2n 3) + (2n 1) = n 2 2 + 4 + 6 + + (2n 2) + 2n = n(n + 1) ⑵ 等比数列 通项公式 an = a1 q n 1 ( a1 为首项,q 为公比, q ≠ 1 ) 前 n 项和 Sn = a1 (1 q n ) a1 an q = 1 q 1 q 2 ⑶ 12 + 2 2 + 32 + + n 2 = ⑷ 13 + 23 + 33 + + n3 = 2 2 2 1 n(n + 1)(2n + 1) 6 n 2 (n + 1)2 4 2 n(4n 2 1) ⑸ 1 + 3 + 5 + + (2n 1) = 3 ⑹ 13 + 33 + 53 + + (2n 1)3 = n 2 (2n 2 1) 1 2 (n + 1), n为奇数 n 1 ⑺ 1 2 + 3 + (1) n = n , n为偶数 2 1 ⑻ 1 2 + 2 3 + 3 4 + + n(n 1) = n(n + 1)(n + 2) 3 6.牛顿二项公式 (a + b) n = a n + na n 1b + n(n 1) n 2 2 n(n 1)(n 2) n 3 3 a b + a b + 2! 3! + n n(n 1) (n k + 1) n k k a b + + nab n 1 + b n = ∑ Cnk a n k b k k! k =0 二,三角 1.基本关系式 ⑴ tan α = ⑶ tan α = ⑸ csc α = sin α cos α 1 cot α 1 sin α ⑵ cot α = ⑷ sec α = cos α sin α 1 cos α ⑹ sin 2 α + cos 2 α = 1 ⑻ 1 + cot 2 α = csc2 α ⑺ 1 + tan 2 α = sec 2 α 2.诱导公式 角A 函数 sin A cos A tan A A= π 2 ±α A = π ±α 3 A = π ±α 2 A = 2π α sin α cos α sin α cot α sin α cos α ± sin α cot α cos α ± tan α cos α tan α 3 cot A tan α ± cot α tan α cot α 3.和差公式 ⑴ sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β ⑵ cos(α ± β ) = cos α cos β sin α sin β ⑶ tan(α ± β ) = ⑷ cot(α ± β ) = tan α ± tan β 1 tan α tan β cot α cot β 1 cot β ± cot α ⑸ sin α + sin β = 2 sin ⑹ sin α sin β = 2 cos α+β 2 cos sin αβ 2 α+β 2 αβ 2 ⑺ cos α + cos β = 2 cos α+β 2 2 cos αβ 2 ⑻ cos α cos β = 2 sin ⑼ sin α cos β = ⑽ cos α sin β = ⑾ cosα cos β = α+β sin αβ 2 1 [sin(α + β ) + sin(α β )] 2 1 [sin(α + β ) sin(α β )] 2 1 [cos(α + β ) + cos(α β )] 2 1 [cos(α + β ) cos(α β )] 2 ⑿ sin α sin β = 4.倍角和半角公式 ⑴ sin 2α = 2 sin α cos α ⑶ tan 2α = ⑸ sin ⑺ tan 2 tan α 1 tan 2 α ⑵ cos 2α = cos 2 α sin 2 α ⑷ cot 2α = ⑹ cos ⑻ cot cot 2 α 1 2 cot α α 2 =± =± 1 cos α 2 1 cos α 1 + cos α α 2 =± 1 + cos α 2 1 + cos α 1 cos α α 2 α 2 =± 三,初等几何 4 在下列公式中,字母 R,r 表示半径,h 表示高,l 表示斜高,s 表示弧长. 1.圆;圆扇形 圆周长 = 2π r ;圆面积 = π r 2 圆扇形: 圆弧长 s = rθ (圆心角 θ 以弧度计) = π rθ 180 (圆心角 θ 以度计) 扇形面积 = 1 1 rs = r 2θ 2 2 2.正圆锥;正棱锥 1 正圆锥:体积 = π r 2 h 3 侧面积 = π rl 全面积 = π r (r + l ) 1 正棱锥:体积 = × 底面积 × 高 3 侧面积 = 3.圆台:体积 = 1 × 斜高 × 底周长 2 3 ( R 2 + r 2 + Rr ) ;侧面积 = π l ( R + r ) πh 4 4.球:体积 = π r 3 ;表面积 = 4π r 2 3 四,导数和微分 1.基本求导公式 ⑴ (C )′ = 0 (C 为常数) ⑵ ( x n )′ = nx n 1 ;一般地, ( x α )′ = αx α 1 . 1 1 1 特别地: ( x)′ = 1 , ( x 2 )′ = 2 x , ( )′ = 2 , ( x )′ = . x x 2 x ⑶ (e x )′ = e x ;一般地, (a x )′ = a x ln a (a > 0, a ≠ 1) . ⑷ (ln x)′ = 1 1 ;一般地, (log a x)′ = (a > 0, a ≠ 1) . x x ln a ⑸ (sin x)′ = cos x , (cos x)′ = sin x , (tan x)′ = sec 2 x , 5 (cot x)′ = csc 2 x , (sec x)′ = tan x sec x , (csc x)′ = cot x csc x . ⑹ (arcsin x)′ = (arctan x)′ = 1 1 x 2 , (arccos x)′ = 1 1 x2 , 1 1 , (arc cot x)′ = , 2 1+ x 1+ x2 (arc sec x)′ = 1 x x2 1 , (arc csc x)′ = 1 x x2 1 . 2.求导法则 ⑴ 四则运算法则 设 f(x),g(x)均在点 x 可导,则有: (Ⅰ) ( f ( x) ± g ( x))′ = f ′( x) ± g ′( x) ; (Ⅱ) ( f ( x) g ( x))′ = f ′( x) g ( x) + f ( x) g ′( x) , 特别 (Cf ( x))′ = Cf ′( x) (C 为常数) ; (Ⅲ) ( 特别 ( f ( x) f ′( x) g ( x) f ( x) g ′( x) )′ = , ( g ( x ) ≠ 0) , g ( x) g 2 ( x) 1 g ′( x) )′ = 2 . g ( x) g ( x) ⑵ 复合函数求导法则 设函数 y = f(u), = (x) 均可导, y = f ( ( x)) 关于 x 的导数恰为 f(u)及 (x) u 则 的导数的乘积: dy df ( ( x)) dy du ′ x . = = = f ′(u ) ′( x) ( y ′ = y u u ′ ) x dx dx du dx 推广 若 y = f (u ), u = g (v), v = h( x) ,则: dy dy du dv ′ ′ x . = = f ′(u ) g ′(v) h′( x) ( y′ = yu uv v′ ) x dx du dv dx 3.微分 ⑴ 函数 y = f ( x) 在点 x 处的微分: dy = y ′dx = f ′( x)dx ⑵ 微分规则 设函数 u = u(x), v = v(x)均可微,C 为常数,则有 (Ⅰ) d (Cu ) = Cdu ; d (u ± v) = du ± dv ; (Ⅱ) d (uv) = vdu + udv ; 6 u vdu udv (Ⅲ) d ( ) = ( v ≠ 0) . v v2 若函数 y = f (u ), u = ( x) 均可微,则复合函数 y = f ( ( x)) 也可微,且有 dy = f ′(u )du = f ′(u ) ′( x)dx . 五,不定积分 1.常用的不定积分公式 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽ ∫ 0dx = C ; ∫x α dx = 1 α +1 x + C (α ≠ 1) ; α +1 ∫ x dx = ln | x | +C ; ∫e x 1 dx = e x + C ; x ∫ a dx = ax + C (a > 0, a ≠ 1) ; ln a ∫ cos xdx = sin x + C ; ∫ sin xdx = cos x + C ; ∫ sec ∫ csc 2 xdx = tan x + C ; xdx = cot x + C ; 2 ∫ 1 1 x2 1 2 dx = arcsin x + C = arccos x + C ; ⑾ ∫1+ x dx = arctan x + C = arc cot x + C . 2.不定积分的性质和法则 ⑴ ( ∫ f ( x)dx)′ = f ( x) 或 d ∫ f ( x)dx = f ( x)dx ⑵ ⑶ ⑷ ∫ F ′( x)dx = F ( x) + C 或 ∫ dF ( x) = F ( x) + C ∫ ( f ( x) ± g ( x))dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx (k 为常数) 设 F(u)是 f(u)的原函数,u = ( x) 可导,则 F [ ( x)] 是 f [ ( x)] ′( x) 的原函数. 7 ⑸ 凑微分法 即若 ∫ f ( x)dx = F ( x) + C ,则 ∫ f [ ( x)] ′( x)dx = ∫ f [ ( x)]d ( x) = F[ ( x)] + C ⑹ 换元积分法 设 x = (t ) 可导,且 ′(t ) ≠ 0 ,又 f [ (t )] ′(t ) 有原函数 F(t),则 ∫ f ( x)dx = ∫ f [ (t )] ′(t )dt = F (t ) + C = F [ 其中 t = 1 ( x) 是 x = (t ) 的反函数. ⑺ 分部积分法 1 ( x)] + C ∫ u ( x)v′( x)dx = u ( x)v( x) ∫ v( x)u ′( x)dx 或简写成 ∫ udv = uv ∫ vdu 六,定积分 1.定积分性质和运算 ⑴ ∫ [k a b 1 f ( x) + k 2 g ( x)]dx = k1 ∫ f ( x)dx + k 2 ∫ g ( x)dx a a b b 其中 k1 , k 2 为任意常数. ⑵ ∫ b a f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx a c b b a a c b ⑶ 若 f ( x) ≤ g ( x), x ∈ [a, b] ,则 ∫ f ( x)dx ≤ ∫ g ( x)dx ⑷ 若 m ≤ f ( x) ≤ M , x ∈ [a, b] ,则 m(b a) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b a) a b ⑸ 定积中值定理 设 f(x)在区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点 ξ ,使 ∫ b a f ( x)dx = f (ξ ) (b a) 1 b f ( x)dx ,此值称为函数 f(x)在区间[a,b]上的平均 b a ∫a 由上式,得 f (ξ ) = 值. 2.牛顿-莱布尼兹公式 若函数 f(x)在区间[a,b]上连续,F(x)是 f(x)的一个原函数,即 F ′( x) = f ( x) , 则 ∫ b a f ( x)dx = F ( x) |b = F (b) F (a) a 8 3.积分法 ⑴ 换元积分法 设函数 f(x)在区间[a,b]上连续,作变换 x = (t ) ,如果 ① ′(t ) 在区间 [α , β ] 上连续; ② 当 t 从 α 变到 β 时, (t ) 从 (α ) = a 单调地变到 ( β ) = b ,则有 ∫ ⑵ 分部积分法 b a f ( x)dx = ∫ f [ (t )] ′(t )dt α β 设 u(x),v(x)在[a,b]上具有连续导数 u ′( x), v ′( x) ,则 ∫ u( x)dv( x) = u ( x)v( x) a b b a ∫ v( x)du ( x) a b 9

常用数学公式表 乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理 判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根 b2-4ac>0 注：方程有一个实根 b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >

三角的公式及变形再有就是求导公式，还有就是一些常用公式的变形

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