设函数f（x）定义于闭区间[0，1]，满足f（0）=0，f（1）=1，且对任意x，y∈[0，1]，x≤y，都有f（x+y2）=

设函数f（x）定义于闭区间[0，1]，满足f（0）=0，f（1）=1，且对任意x，y∈[0，1]，x≤y，都有f（x+y2）=（1-a2）f（x）+a2f（y），其中常数a满足0＜a＜1，求a的值．

因为f（
1
2 ）=f（
0+1
2 ）=a2，…2分
f（
1
4 ）=f（
0+
1
2
2 ）=a2f（
1
2 ）=a4，…4分
f（
3
4 ）=f（

1
2 +1
2 ）=（1-a2）f（
1
2 ）+a2f（1）=2a2-a4，…6分
所以f（
1
2 ）=f（

1
4 +
3
4
2 ）=（1-a2）f（
1
4 ）+a2f（
3
4 ）=-2a6+3a4，…10分
由此得a2=-2a6+3a4，…12分
而0＜a＜1，所以a=




2
2 …14分

7)+1/8, 7/2f(4/7)= 1/4*[1/, 取x=0,y=2/7, 则f[(0+2/7)/7)= 1/2f(2/7)因为f[(x+y)/2]=1/, 即f(1/7)=1/8f(1/7)=1/7)=1/8f(1/2f(y);2f(x)+1/2f(2/7) 取x=0;2*1/7+1)/2]=f(4/7) 取x=1/7,y=1 则f[(1/2 所以f(1/7)= 1/2f(2/,y=4/2f(1/7)+ 1/2f(1)= 1/8;7 则f[(0+4/7)/7) 即f(2/7)= 1/2f(4/2]=f(2/7)= 1/2f(0)+ 1/2]=f(1/7)=1/7)= 1/2f(0)+1/2f(1/7)+ 1/2 即f(4/7)= 1/2f(1/2f(2/7)=1/7)+ 1/2f(4/7)= 1/2f(4/, 解得 f(1/2f(1/7)+ 1/2] 即f(1/

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