已知三角形ABC的三边a,b,c成等差数列，求∠B的最大值

已知三角形ABC的三边a,b,c成等差数列，求∠B的最大值

等差数列则a+c=2b
(a^2+c^2+2ac)/4=b^2
所以a^2+c^2-b^2=(3a^+3c^2-2ac)/4
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
=(3a^+3c^2-2ac)/8ac
=(3/8)(a^2+c^2)/ac-2/8

a^2+c^2>=2ac
ac>0
所以(a^2+c^2)/ac>=2
所以cosB>=(3/8)*2-2/8=1/2=cos60
cosB>0则B是锐角
在第一象限，cos是减函数
所以 B<=60
所以∠B最大=60度

2b=a+c

4b^2=a^2+c^2+2ac≥2ac +2ac=4ac

即b^2/(ac)≥1

当a=c时,取到最小值

cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(3b^2 - 2ac)/(2ac)=(3b^2)/(2ac) - 1≥3/2 - 1=1/2

因为B∈(0 , π),而y=cosx在此区间上是减函数

所以当cosB取最小值1/2时,B最大,此时B=60度,即为所求的∠B的最大值

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