级数问题为什么无穷等比数列的公比的绝对值小于1

级数问题为什么无穷等比数列的公比的绝对值小于1

根据等比数列求和公式
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
则有 15=a1(1-q^n)/(1-q)
n趋近于∞,而q绝对值小于1,所以q^n趋近于0
则有
15=a1/(1-q)
而平方和则可以看为公比为q^2的等比数列
同样可等到
45=a1^2/(1-q^2)
解此二元方程组
q=2/3 或者 q=1(排除)
则a1=5
即首项为5

设这个无穷等比数列得首项为a1,公比为q,则 由条件，知|q|<1,即-1<q<1；这个无穷等比数列的前n项和为s(n)=a1*(1-q^n)/(1-q),当n趋向无穷大时，s(n)=a1/(1-q),故这个无穷等比数列的各项之和为a1/(1-q), 因为此数列的每一项都等于它以后各项和的k倍，而它以后各项和为a1/(1-q)-a1*(1-q^n)/(1-q)=a1*q^n/(1-q), 所以a1*q^n=k*[a1*q^n/(1-q)],整理，得k=1-q,而-1<q<1所以0<k<2。

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