概率论的计算

概率论的计算

需要提及的是下面将要介绍的9个计算概率的定理与上面已经提及的事件的计算没有关系，所有关于概率的定理均由概率的3个公理得来，同时适用于包括拉普拉斯概率和统计概率在内的所有概率理论。 (互补法则)
与A互补事件的概率始终是1-P(A)
证明：
事件A和ā是互补关系，由公理3和公理2可得
利用互补法则，可以解决下面这个问题，在两次连续旋转的轮盘游戏中，至少有一次是红色的概率是多少？
第一次旋转红色不出现的概率是19/37，按照乘法法则，第二次也不出现红色的概率是(19/37)2=0.2637，因此在这里互补概率就是指在两次连续旋转中至少有一次是红色的概率， 不可能事件的概率为零：证明： Q和S是互补事件，按照公理2有
P(S)=1，再根据上面的定理1得到P(Q)=0 如果若干事件A1，A2，...An∈S每两两之间是空集关系，那么这些所有事件集合的概率等于单个事件的概率的和。
注意针对这一定理有效性的决定因素是A1...An事件不能同时发生（为互斥事件）。例如，在一次掷骰子中，得到5点或者6点的概率是： P=P(A5)+P(A6) 如果事件A，B是差集关系，则有P（A-B）=P（A~B），
证明：事件A由下面两个事件组成：和由公理3得， (任意事件加法法则)
对于事件空间S中的任意两个事件A和B，有如下定理： 概率P(A∪B)=P(A)+P(B)
证明：
事件A∪B由下面三个事件组成：首先根据定理4有：再根据定理3得：
例如，在由一共32张牌构成的斯卡特扑克牌中随机抽出一张，其或者是方片或者是的概率是多少？
事件A，B是或者的关系，且可同时发生，就是说抽出的这张牌即可以是方片，又可以是，A∩B(既发生A又发生B)的值是1/32，(从示意图上也可以看出，即是方片又是只有一张，即概率是1/32)，因此有如下结果：
从图片上也可看出，符合这一条件的恰好是11张牌。注意到定理3是定理5的特殊情况，即A，B不同时发生，相应的P(A∩B)=0。 (乘法法则) 事件A，B同时发生的概率是：
轮盘游戏示意图
注意应用如上公式的前提是事件A，B相互之间有一定联系，公式中的P(A|B)是指在B条件下A发生的概率，又称作条件概率。回到上面的斯卡特游戏中，在32张牌中随机抽出一张，即是方片又是A的概率是多少呢？现用P(A)代表抽出方片的概率，用P(B)代表抽出A的概率，很明显，A，B之间有一定联系，即A里包含有B，B里又包含有A，在A的条件下发生B的概率是P(B|A)=1/8，则有：
或者，
从上面的图中也可以看出，符合条件的只有一张牌，即方片A。
另一个例子，在32张斯卡特牌里连续抽两张(第一次抽出的牌不放回去)，连续得到两个A的概率是多少呢？
设A，B分别为连续发生的这两次事件，人们看到，A，B之间有一定联系，即B的概率由于A发生了变化，属于条件概率，按照公式有： (无关事件乘法法则)
两个不相关联的事件A，B同时发生的概率是：注意到这个定理实际上是定理6(乘法法则)的特殊情况，如果事件A，B没有联系，则有P(A|B)=P(A)，以及P(B|A)=P(B)。观察一下轮盘游戏中两次连续的旋转过程，P(A)代表第一次出现红色的概率，P(B)代表第二次出现红色的概率，可以看出，A与B没有关联，利用上面提到的公式，连续两次出现红色的概率为：
忽视这一定理是造成许多玩家失败的根源，普遍认为，经过连续出现若干次红色后，黑色出现的概率会越来越大，事实上两种颜色每次出现的概率是相等的，之前出现的红色与之后出现的黑色之间没有任何联系，因为球本身并没有记忆，它并不知道以前都发生了什么。同理，连续10次出现红色的概率为P=(18/37)10=0.0007

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