Z∈C，满足 Z+ 1 Z ∈R ， Z- 1 4 是纯虚数，求Z
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解决时间 2021-02-14 08:40
- 提问者网友：最爱你的唇
- 2021-02-13 23:10
Z∈C，满足 Z+ 1 Z ∈R ， Z- 1 4 是纯虚数，求Z．
最佳答案
- 五星知识达人网友：洒脱疯子
- 2021-02-13 23:52
设z=a+bi（a∈R，b∈R）
则 Z-
1
4 =（a-
1
4 ）+bi
∵ Z-
1
4 是纯虚数
∴a-
1
4 =0，b≠0
∴a=
1
4 ，b≠0①
∵ Z+
1
Z =a+
a
a 2 + b 2 +(b-
b
a 2 + b 2 )i ∈R
∴ b-
b
a 2 + b 2 =0
∵b≠0
∴a 2 +b 2 =1②
∴由①②得b=
+
.
3
2
∴Z=
1
4 +
3
2 i或Z=
1
4 -
3
2 i
则 Z-
1
4 =（a-
1
4 ）+bi
∵ Z-
1
4 是纯虚数
∴a-
1
4 =0，b≠0
∴a=
1
4 ，b≠0①
∵ Z+
1
Z =a+
a
a 2 + b 2 +(b-
b
a 2 + b 2 )i ∈R
∴ b-
b
a 2 + b 2 =0
∵b≠0
∴a 2 +b 2 =1②
∴由①②得b=
+
.
3
2
∴Z=
1
4 +
3
2 i或Z=
1
4 -
3
2 i
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- 1楼网友：西岸风
- 2021-02-14 01:27
设z=a＋bi(a、b是实数)，则z＋1/z=(a＋bi)＋(a－bi)/[a²＋b²]∈r，则b－b/(a²＋b²)=0，即b=0或a²＋b²=1。又z－1/4是纯虚数，则a=1/4且b≠0，从而a=1/4，b=±√15/16，即z=1/4±√15/16i。
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