设f（x,y）是[a,b]上的正值连续函数，D={（x,y）|a<=x<=b,a<=y<=b}试证二重积分f

设f（x,y）是[a,b]上的正值连续函数，D={（x,y）|a<=x<=b,a<=y<=b}试证二重积分f（x）/f（y）dxdy>=（b-a）^2

左边=∫[a→b] f(x)dx∫[a→b] 1/f(x)dx
定积分可随便换积分变量
=∫[a→b] f(x)dx∫[a→b] 1/f(y)dy
=∫∫(D) f(x)/f(y) dxdy 其中：D为a≤x≤b,a≤y≤b
该积分区域为正方形区域,关于y=x对称,则满足轮换对称性,即：∫∫ f(x)/f(y)dxdy=∫∫ f(y)/f(x)dxdy
=(1/2)∫∫(D) [f(x)/f(y) + f(y)/f(x)] dxdy
由平均值不等式
≥∫∫(D) 1 dxdy 被积函数为1,积分结果是区域面积
=(b-a)²
=右边

的题错了，不是导数，是积分吧？ 给你一个二重积分的做法，如果没学过二重积分，请追问，我再给你一个定积分做法。 左边=∫[a→b] f(x)dx∫[a→b] 1/f(x)dx 定积分可随便换积分变量 =∫[a→b] f(x)dx∫[a→b] 1/f(y)dy =∫∫(d) f(x)/f(y) dxdy 其中：d为a≤x≤b，a≤y≤b 该积分区域为正方形区域，关于y=x对称，则满足轮换对称性，即：∫∫ f(x)/f(y)dxdy=∫∫ f(y)/f(x)dxdy =(1/2)∫∫(d) [f(x)/f(y) + f(y)/f(x)] dxdy 由平均值不等式 ≥∫∫(d) 1 dxdy 被积函数为1，积分结果是区域面积 =(b-a)² =右边

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