已知函数f（x）=ex-x（e是自然数对数的底数）

已知函数f（x）=e^x-x（e是自然数对数的底数）
（1）求f（x）的最小值；
（2）不等式f（x）＞ax的解集为P，若M＝{x|

1

2

≤x≤2}，且M∩P＝?

（1）f'（x）=e^x-1由f'（x）=0得x=0
当x＞0时，f'（x）＞0，当x＜0时，f'（x）＜0，
故f（x）在（-∞，+∞）连续，
故f_min（x）=f（0）=1．
（2）∵M∩P≠φ，
即不等式f（x）＞ax在区间[
1
2，2]有解f（x）＞ax可化为（a+1）x＜e^x∴g(x)＝
ex
x?1，x∈[
1
2，2]，a＜
ex
x?1在区间[
1
2，2]a＜gmax(x)∵g′(x)＝
(x?1)ex
x2故g(x)在区间[
1
2，1]递减，
在区间[1，2]递增，g(
1
2)＝2
e?1
又g(2)＝
1
2e2?1，且g(2)＞g(
1
2)∴gmax(x)＝g(2)＝
1
2e2?1
所以，实数a的取值范围为(?∞，
1
2e2?1)．

试题解析：

（1）求出函数的导数，利用导数为0，求出极值点，通过单调性说明极值点时是函数的取得最小值，即可．
（2）求出不等式的解集P，通过M∩P≠φ，说明x∈[

1

2

，2]时，a小于g（x）的最大值，利用函数的导数求出g（x） 的最大值即可．

名师点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；空集的定义、性质及运算；交集及其运算．
考点点评： 本题是中档题，考查函数的导数的应用，转化思想的应用，考查计算能力．

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