已知数列{an}中，a1=

已知数列{an}中，a1=t,a2=t^2(t>0),且a(n+1)=(t+1)*an-t*a(n-1) (n>=2)

(1)求数列{an}的通向公式

（2）若1/2 <t<2,bn=(2*an)/(1+(an)^2) (n是正整数），是比较1/b1+1/b2+……+1/bn与2^n-2^(-n/2)的大小

(1) a(n+1)=(t+1)*an-t*a(n-1) => a(n+1)-an=t[an-a(n-1)]

=t^{2}[a(n-1)-a(n-2)]=....=t^{n-1}(a2-a1)=t^{n}(t-1)

故an=a(n-1)+t^{n-1}(t-1)=.....=t^{n-1}(t-1)+t^{n-2}(t-1)+...+t^{2}(t-1)+a2=t^{n}

(2)bn=2t^{n}/[1+t^{2n}]，则1/bn=(1/2)*(t^{n}+t^{-n})

考虑函数f(x)=x^{a}+x^{-a} , 1/2<x<2, f'(x)=ax^{a-1}-ax^{-a-1}=ax^{-1}*[x^{2a}-1]/x^{-a},当x<1时f'为负，当x>1时，f'为正。从而当x取到端点时，f(x)达到最大值2^{a}+2^{-a}。

因此 1/b1+1/b2+……+1/bn<(1/2)*[2+2^{-1}+...+2^{n}+2^{-n}]=(1/2)*[2+...+2^{n}+2^{-1}+...+2^{-n}]

=(1/2)[2^{n+1}-2+1-2^{-n}]=2^{n}-2^{-n+1}-2<2^n-2^(-n/2)

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