高中的数学问题

我刚学命题的那部分老师出了一道题

证:对任意a、b∈R,有max{|a+b|,|a-b|,|1-b|}≥1/2

(注:max{a,b,c}表示a,b,c中最大的一个)

用反证法:

假设max{|a+b|,|a-b|,|1-b|}<1/2

即|a+b|<1/2，|a-b|<1/2，|1-b|<1/2

各自平方得:

a²+b²+2ab<1/4①

a²+b²-2ab<1/4②

b²-2b+1<1/4③

①+②得a²+b²<1/4，则b²<1/4

由③得:1/2<b<3/2，而b²>1/4

矛盾，即假设不成立。

∴对任意a、b∈R,有max{|a+b|,|a-b|,|1-b|}≥1/2

这个得用反证法

假设max{|a+b|,|a-b|,|1-b|}<1/2

然后再解 求出矛盾

假设max{|a+b|,|a-b|,|1-b|}<1/2

则|a+b|<1/2，|a-b|<1/2，|1-b|<1/2

三个不等式不等号两边同时平方可以得到

a^2+b^2+2ab<1/4,（1）

a^2+b^2-2ab<1/4,（2）

b^2-2b+1<1/4,(3)

不等式(1)、（2）不等号左右两边相加，可以得到a^2+b^2<1/4，则b^2<1/4

解不等式（3），可得1/2<b<3/2，则b^2>1/4

从而得出矛盾，即假设不成立。

故对任意a、b∈R,有max{|a+b|,|a-b|,|1-b|}≥1/2

如以上回答内容为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！

点此我要举报以上问答信息