设X>0Y>0X+2Y=1,求X分之1+Y分之1的最小值？
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解决时间 2021-04-06 06:50
- 提问者网友：爱了却不能说
- 2021-04-05 17:54
设X>0Y>0X+2Y=1,求X分之1+Y分之1的最小值？
最佳答案
- 五星知识达人网友：白昼之月
- 2021-04-05 18:04
1/x+1/y=(1/x+1/y)*(x+2y)=1+2y/x+x/y+2=3+2倍根2
全部回答
- 1楼网友：底特律间谍
- 2021-04-05 18:46
设X>0，Y>0，X+2Y=1，求(1/X)+(1/Y)的最小值？
解一：利用均值不等式法：∵X>0，Y>0，X+2Y=1，
∴u=(1/x)+(1/y)=[(1/x)+(1/y)](x+2y)=1+(x/y)+(2y/x)+2=3+(x/y)+(2y/x)≧3+2√2
当且仅仅当x/y=2y/x时等号成立；即x²=2y²，也就是x=(√2)y等号成立；代入条件等式得：
(√2)y+2y=(2+√2)y=1，即当y=1/(2+√2)，x=(√2)/(2+√2)时,1/x+1/y获得最小值3+2√2.
解二：导数法：由x+2y=1，得y=(1/2)(1-x)，代入u=1/x+1/y，得
u=1/x+2/(1-x)；
令du/dx=-1/x²+2/(1-x)²=0，得-(1-x)²+2x²=x²+2x-1=0，故得极小点x=(-2+√8)/2=√2-1
于是得y=(1/2)(1-x)=(1/2)(1-√2+1)=(2-√2)/2
故umin=1/(√2-1)+2/(2-√2)=(√2+1)+(2+√2)=3+2√2.
解三：拉格朗日乘数法：
设F(x，y)=1/x+1/y+λ(x+2y-1)
令∂F/∂x=-1/x²+λ=0..........(1)
∂F/∂y=-1/y²+2λ=0.........(2)
x+2y=1.........................(3)
由(1)和(2)得x²=2y²，即有x=(√2)y，代入(3)式得(2+√2)y=1，故y=1/(2+√2)，x=(√2)/(2+√2)
依问题的几何意义，可知是极小点，故umin=(2+√2)/√2+(2+√2)=(1+√2)+(2+√2)=3+2√2.
解一：利用均值不等式法：∵X>0，Y>0，X+2Y=1，
∴u=(1/x)+(1/y)=[(1/x)+(1/y)](x+2y)=1+(x/y)+(2y/x)+2=3+(x/y)+(2y/x)≧3+2√2
当且仅仅当x/y=2y/x时等号成立；即x²=2y²，也就是x=(√2)y等号成立；代入条件等式得：
(√2)y+2y=(2+√2)y=1，即当y=1/(2+√2)，x=(√2)/(2+√2)时,1/x+1/y获得最小值3+2√2.
解二：导数法：由x+2y=1，得y=(1/2)(1-x)，代入u=1/x+1/y，得
u=1/x+2/(1-x)；
令du/dx=-1/x²+2/(1-x)²=0，得-(1-x)²+2x²=x²+2x-1=0，故得极小点x=(-2+√8)/2=√2-1
于是得y=(1/2)(1-x)=(1/2)(1-√2+1)=(2-√2)/2
故umin=1/(√2-1)+2/(2-√2)=(√2+1)+(2+√2)=3+2√2.
解三：拉格朗日乘数法：
设F(x，y)=1/x+1/y+λ(x+2y-1)
令∂F/∂x=-1/x²+λ=0..........(1)
∂F/∂y=-1/y²+2λ=0.........(2)
x+2y=1.........................(3)
由(1)和(2)得x²=2y²，即有x=(√2)y，代入(3)式得(2+√2)y=1，故y=1/(2+√2)，x=(√2)/(2+√2)
依问题的几何意义，可知是极小点，故umin=(2+√2)/√2+(2+√2)=(1+√2)+(2+√2)=3+2√2.
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