已知数列{an}中，a1=2，an+1=3an+2．（Ⅰ）记bn=an+1，求证：数列{bn}为等比数列；（Ⅱ）求数列{nan}的前

已知数列{an}中，a1=2，an+1=3an+2．（Ⅰ）记bn=an+1，求证：数列{bn}为等比数列；（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Sn．

（Ⅰ）证明：由an+1=3an+2，可知an+1+1=3（an+1）．
∵bn=an+1，∴bn+1=3bn，
又b1=a1+1=3，
∴数列{bn}是以3为首项，以3为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an+1＝3n，得an＝3n?1，∴nan＝n?3n?n．
∴Sn=（1×31+2×32+…+n?3n）-（1+2+…+n）
其中1+2+…+n=
n(n+1)
2 =
n2+n
2 ，
记Tn＝3+2×32+3×33+…+（n-1）×3n-1+n×3n  ①
∴3Tn=32+2×33+…+（n-1）×3n+n×3n+1  ②
两式相减得-2Tn=3+32+…+3n-n×3n+1=
3(3n?1)
3?1 ?n?3n+1，
∴Tn＝
(2n?1)
4 ×3n+1+
3
4 ．
∴Sn＝
2n?1
4 ×3n+1?
2n2+2n?3
4 ．

（1） a（n+1）-3an=3ⁿ a（n+1）/3⁽ⁿ⁺¹⁾-an/3ⁿ=1/3 b（n+1）-bn=1/3，b1=a1/3=1. ∴bn是首项b1=1，公差d=1/3的等差数列。 综上，命题得证。 （2） bn=b1+（n-1）d=n/3+2/3. an=bn×3ⁿ=n×3⁽ⁿ⁻¹⁾+2×3⁽ⁿ⁻¹⁾=3⁽ⁿ⁻¹⁾（n+2）. ∴sn=1+3+3²+...+3⁽ⁿ⁻¹⁾=（3ⁿ-1）/2，s2n=（9ⁿ-1）/2. sn/s2n=（3ⁿ-1）/（9ⁿ-1）=1/（3ⁿ+1）。 显然，sn/s2n递减，故s2n/sn≤s2/s1=1/4. ∴n≥2时，sn/s2n满足sn/s2n＜1/4. 又sn/s2n递减，故不存在sn/s2n＞128. 综上，n≥2时满足sn/s2n＜1/4。

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