求n阶实对称幂矩阵A（A^2=A)的秩为r,求：行列式 I+A+A^2+.+A^n
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解决时间 2021-03-05 00:51
- 提问者网友：不要迷恋哥
- 2021-03-04 17:49
求n阶实对称幂矩阵A（A^2=A)的秩为r,求：行列式 I+A+A^2+.+A^n
最佳答案
- 五星知识达人网友：第幾種人
- 2021-03-04 18:23
你问的题还是有些份量的哈, 哪来的题?解: 第1步.设a是A的特征值.则 a^2-a 是 A^2-A 的特征值而 A^2-A=0所以 a^2-a=0, a(a-1)=0.所以 a=0 或 1.第2步.因为实对称矩阵可对角化所以存在可逆矩阵P, 使得 P^-1AP = diag(1,1,...,1,0,0,...,0) =B (记为B)由 r(A)=r, 所以对角矩阵B=diag(1,1,...,1,0,0,...,0)中有r个1, n-r个0.且 B^k = B.第3步.由P^-1AP=B得 A=PBP^-1, 且有 A^k = (PBP^-1)^k = PB^kP^-1 =PBP^-1 所以|I+A+A^2+.+A^n|= | I+PBP^-1+PBP^-1+...+PBP^-1 |= |P(I+nB)P^-1|= |I+nB|= (1+n)^r.满意请采纳^_^
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- 1楼网友：千夜
- 2021-03-04 19:17
就是这个解释
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