如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点,求证(

如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点,求证(

证明：（1）取EC中点F,连接DF．∵EC⊥平面ABC,BD∥CE,得DB⊥平面ABC．∴DB⊥AB,EC⊥BC．∵BD∥CE,BD= 1/2CE=FC,则四边形FCBD是矩形,∴DF⊥EC．又BA=BC=DF,∴Rt△DEF≌Rt△ABD,所以DE=DA．（2）取AC中点N,连接MN、NB,∵N是EA的中点,∴MN= 1/2EC．由BD= 1/2EC,且BD⊥平面ABC,可得四边形MNBD是矩形,于是DN∥BM．∵DE=DA,N是EA的中点,∴DN⊥EA．又EA∩MN=M,∴DN⊥平面ECA,而DN⊂平面BDM,则平面ECA⊥平面BDM．（3）∵DN⊥平面ECA,DN⊂平面DEA,∴平面DEA⊥平面ECA．

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