设f（x）是定义在R上的函数，对m、n∈R恒有x＞0，f（m+n）=f（m）?f（n），且当 x＞0时，0＜f（x）＜1．

设f（x）是定义在R上的函数，对m、n∈R恒有x＞0，f（m+n）=f（m）?f（n），且当 x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）求f（0）的值； （2）证明：x∈R时，恒有f（x）＞0；（3）求证：f（x）在R上是减函数； （4）若f（x）f（2-x）＞1，求x的范围．

（1）∵对任意m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）?f（n），
∴令m=0，可得f（n）=f（0）?f（n），
由f（n）的任意性，可得f（0）=1
∴f（0）的值为1；
（2）由（1）中结论，令m=-n
则f（0）=f（-n+n）=f（-n）?f（n）=1，可得f（-n）=
1
f(n)
因此，f（x）与f（-x）互为倒数，
∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴当x＜0时，0＜
1
f(x) ＜1，即f（x）＞1，
又∵x=0时，f（0）=1
∴当x∈R时恒有f（x）＞0；
（3）设x1＞x2，可得
f（x1）=f（x2+（x1-x2））=f（x2）?f（x1-x2）
由（2）知当x∈R时，恒有f（x）＞0，
根据
f(x1)
f(x2) =f（x1-x2）＜1，可得0＜f（x1）＜f（x2）
因此，f（x）在R上是减函数；
（4）∵f（x）f（2-x）=f[x+（2-x）]，f（0）=1，
∴不等式f（x）f（2-x）＞1，即f[x（2-x）]＞f（0），
∵f（x）在R上是减函数，∴x（2-x）＜0，解之得x＜0或x＞2
因此，所求x的取值范围为（-∞，0）∪（2，+∞）．

第一问：可令m=x>0，n=0，因为f(m+n)=f(m)*f(n)，代入有f(x)=f(0)*f(x)，所以f(0)=1或f(x)=0，又因为当x>0时,0<f(x)<1，故f(x)不等于0，所以f(0)=1。

第二问：当x>=0时，0<f(x)<=1。当x<0时，令m=n=x，由f(m+n)=f(m)*f(n)，所以f(2x)=f(x)*f(x)>0，故对于任意的x<0，f(x)>0。所以当x∈r，恒有f(x)>0。

第三问：在-∞<x<+∞上，分为二部分讨论。当0<x<+∞时，由f(0)=1，
0<f(x)<1,有f(0)>f(x)，所以x>=0时，f(x)单调递减。当-∞<x<0时，设-∞<x1<x2<0，则f(x1+c)=f(x1)*f(c)，f(x2+c)=f(x2)*f(c)，其中c>0，因为
0<f(c)<1，显然有f(x1)=f(x1+c)/f(c)>f(x2)=f(x2+c)/f(c)，故f(x)在此区间上单调减。由上面可知，f(x)在r上单调减。

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