已知等边△ABC中，D是BC上一点，△DEB为等边三角形，CE延长线与AB延长线交于M,AD延长线与BE延长线交于N，连接MN。求证：△BMN为等边三角形。

A

B

C

M

N

D

F

已知等边△ABC中，D是BC上一点，△DEB为等边三角形，CE延长线与AB延长线交于M,AD延长线与BE延长线交于N，连接MN。求证：△BMN为等边三角形。

∵△ABC,△BDE是等边三角形

∴∠ABD=∠CBE=60°,AB=AC,BD=BE

∴∠MBN=180°-∠ABD-∠CBE=60°,△ABD≌△CBE(SAS)

∴∠BAD=∠BCE

∵∠MBC=∠MBN+∠CBE=120°,∠NBA=∠CBE+∠ABD=120°

∴∠MBC=∠NBA

∵AB=AC

∴△NBA≌△MBC(ASA)

∴BN=BM

∴△BMN是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)

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