已知函数f(x)=-x+以2为底1-x/1+x的对数,(1)求f(1/2013)+f(-1/2013)的值

急需各位大师,过程希望能够详细一点,感激不甚阿,谢谢了~~

已知函数f(x)=-x+log₂[(1-x)/(1+x)]的对数,(1)求f(1/2013)+f(-1/2013)的值
解：定义域：由(1-x)/(1+x)>0，得(x-1)/(x+1)<0，故其定义域为-1 又f(-x)=x+log₂[(1+x)/(1-x)]=x+log₂[(1-x)/(1+x)]ֿ¹=x-log₂[(1-x)/(1+x)]=-[-x+log₂[(1-x)/(1+x)]=-f(x)
故f(x)是奇函数，∴f(-1/2013)=-f(1/2013)，∴f(1/2013)+f(-1/2013)=f(1/2013)-f(1/2013)=0.

∵f(x)=-x+log₂(1-x)/(1+x) f(-x)=x+log₂(1+x)/(1-x) ∴f(-x)+f(x)=log₂(1-x)/(1+x)+log₂(1+x)/(1-x) =log₂[(1-x)/(1+x)*(1+x)/(1-x)] =log₂1=0 ∴f(-x)+f(x)=0 ∴f(x)是奇函数 ∴f(1/2013)+f(-1/2013)=0

解：因为f(x)+f(-x)=0 （即奇函数，自己代入简单化简一下便知） 故f(1/2013)+f(-1/2013)=0 就这么简单！

1)f(x1) f(x2)=log2[(1 x1)/(1-x1)] log2[(1 x2)/(1-x2)]=log2[(1 x1)(1 x2)/(1-x1)(1-x2)] f((x1 x2)/(1 x1x2))=log2[(1 (x1 x2)/(1 x1x2))/(1-(x1 x2)/(1 x1x2))] =log2[(1 x1x2 x1 x2)/(1 x1x2-x1-x2)]=log2[(1 x1)(1 x2)/(1-x1)(1-x2)] ∴f(x1) f(x2)=f((x1 x2)/(1 x1x2)) 2)由1)可知f((a b)/(a ab))=f(a) f(b)=1,即f(a) f(b)=1① f(-x)=log2[(1-x)/(1 x)]=log2[1/((1 x)/(1-x))]=-log2[(1 x)/(1-x)]=-f(x) ∴f(b)=f(-(-b))=-f(-b)=-1/2,即f(b)=-1/2② ①-②得f(a)=3/2 1)由题意x-2ax 3在[2, ∞)上单调增,且恒大于0 ∴对称轴x=a<=2 x=2时,x-2ax 3=4-4a 3=7-4a>0,a<7/4 综上,a<7/4 2)f(3)=1 ax>0,ax>0则a>0,x>0 f(ax)f(ax)=log(3)(ax)×log(3)(ax)=[log(3)a log(3)x][log(3)a 2log(3)x]=0 令log(3)x=t,f(ax)f(ax)=0的解都在(0,1)内等价于[t log(3)a][2t log(3)a]=0的解都在(-∞,0)上 2t 3tlog(3)a [log(3)a]=0 两根之和-(3/2)log(3)a<0,log(3)a>0,a>1 两根之积[log(3)a]>0,a≠1 综上,a>1 1)∵f(x)是奇函数 ∴f(x2)=-f(-x2) ∴f(x1) f(x2)=f(x1)-f(-x2) ∵f(x)是减函数 ∴f(x1)-f(-x2)与x1-(-x2)异号或都等于0 ∴[f(x1)-f(-x2)][x1-(-x2)]<=0,即[f(x1) f(x2)](x1 x2)<=0(x1 x2=0时取等) 2)由1)可知1-a>0,1-a>0 加上定义域0<1-a<=1,0<1-a<=1 ∴0<=a<1

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