如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC延长线上一点，连接AD，求证AD²－AB²＝BD×DC

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解决时间 2021-02-28 03:34

提问者网友：十年饮冰
2021-02-27 08:21

最佳答案

五星知识达人网友：不如潦草
2021-02-27 10:01

过A做直线AE垂直于BD并交BD于E,,
所以在直角三角形ABE和直角三角形中,就有:
AD^2=AE^2+DE^2
AB^2=AE^2+BE^2
得到:AD^2-AB^2=DE^2-BE^2=(DE+BE)(DE-BE)=BD*(DE-BE)
又因为有AB=AC,所以在等腰三角形ABC中,AE垂直于BC,,
那么BE=CE
所以就有:DE-BE=DC+CE-BE=DC
所以:
AD^2-AB^2=DE^2-BE^2=(DE+BE)(DE-BE)=BD*(DE-BE)=BD*D

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1楼网友：舊物识亽
2021-02-27 11:06

证明：由a点向bc引一条垂线交bc边于点e。因为ab=ac,所以be=ec,且角aec和aec都为直角三角形，根据勾股定理可得ad²=ae²+ed² ac²=ae²+ec² 所以等式左边ad²=ae²+de²=ae²+（ec+cd)²=ae²+ec²+2ec×cd+cd² 右边ab²+bd×dc=ac²+(bc+cd)×cd=ae²+ec²+（2ce+cd)×cd=ae²+ec²+2cd×ec+cd² 所以左边=右边，该等式得证

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