求两条渐近线为x±2y=0,且截直线x-y-3=0所得弦长为8√3/3的双曲线方程

求两条渐近线为x±2y=0,且截直线x-y-3=0所得弦长为8√3/3的双曲线方程

主要要掌握的是，已知渐近线，双曲线方程应该怎么设。
知识：渐近线为Ax±By=0的双曲线可设为：A²x²-B²y²=m，m≠0
所以，可设双曲线方程为：x²-4y²=m
设直线x-y-3=0与双曲线交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，由弦长公式，AB²=(k²+1)(x1-x2)²=64/3
k=1，易得：(x1-x2)²=32/3
把y=x-3代入双曲线方程得：x²-4(x-3)²=m
整理得：3x²-24x+m+36=0
x1+x2=8，x1x2=m/3+12
则：(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=32/3
即：64-4m/3-48=32/3
16-4m/3=32/3
得：m=4
所以，双曲线方程为：x²-4y²=4
写成标准方程：x²/4-y²=1

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

渐近线为x±2y=0
y=±1/2x
所以b/a=1/2
所以a=2b

双曲线方程可设为
x^2/4b^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)
与x-y-3=0联立
可得3y^2-6y+4b^2-9=0
设双曲线与直线交点为（x1,y1）,(x2,y2),则上述方程两根为y1,y2
则y1+y2=2,y1*y2=(4b^2-9)/3
x1-x2=(y1+3)-(y2+3)=y1-y2

而双曲线截直线所得弦长的平方
=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
=2(y1-y2)^2
=2(y1^2+y2^2-2y1y2)
=2[(y1+y2)^2-4y1y2]
=2[4-4(4b^2-9)/3]
=8[1-(4b^2-9)/3]=(8√3/3)^2=64/3
所以1-(4b^2-9)/3=8/3
3-(4b^2-9)=8
b^2=1
解之得b=1（因为b>0）

所以双曲线方程为x^2/4-y^2=1(a>0,b>0)

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