设a,b,c是互异的实数，则行列式 1 1 1 a b c a^3 b^3 c^3 =0 的充要条件？？

如题。

用第二，三行减去第一行得到 1 1 1 ；a-1 b-1 c-1 ; a^3-1 b^3- 1 c^3-1(化简得到 (a-1)(a*a+a+1) (b-1)(b*b+b+1) (c-1)(c*c+c+1)
观察得 当a*a+a+1=b*b+b+1=c*c+c+1时第三列是第二列的倍数，此时行列式为0
所以行列式 1 1 1 a b c a^3 b^3 c^3 =0 的充要条件是a*a+a=b*b+b=c*c+c

证明: 等式左边行列式记为d. 考虑vandermonde行列式d1 1 1 1 1 a b c x a^2 b^2 c^2 x^2 a^3 b^3 c^3 x^3 = (b-a)(c-a)(c-b)(x-a)(x-b)(x-c)搐笭陛蝗桩豪标通钵坤. 直接计算其x^2的系数为: (b-a)(c-a)(c-b)(-a-b-c). 另一方面, 观察d1, 其x^2的系数恰为 a34=(-1)^(3+4)m34 = -d. [考虑d1按第4列展开] 所以 d = (a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b) 由a,b,c为互异实数, 所以d=0的充要条件是a+b+c=0. [注: 行列式d可用性质化三角形行列式,这里提供另一方法计算它. 若是高阶, 此方法更显有用]

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