协方差矩阵是不是半正定的?

协方差矩阵是不是半正定的?

考虑概率分布组成的线性空间,显然协方差是其中的一个bilinear form,而且显然是非退化的,所以它是一个内积。由此可知,协方差矩阵是关于协方差这个内积的Gram矩阵,自然是对称半正定的,而且它是正定的当且仅当所有涉及的概率分布都是线性无关的。

这个其实，基本上，就是从协方差矩阵的定义来的。 协方差矩阵，基本上，就是向量 (x - μ) 与其转置相乘，然后求期望，而期望就是个加权平均而已。这样的东西，从线性代数上讲，基本上全是半正定的。 为了看清楚，我们一步一步来，见下图（一定要点击放大哦）： 下图中，所谓的数学期望的线性性质，就是指 e(x+y) = e(x) + e(y) 与 x、y 是否独立无关。 btw：其实不用写这么罗索，用向量写很简洁，但我怕不放心，所以展开了。用向量写的话，这么几下就完了：

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