已知变量t，y满足关系式loga底(t/a的3次方)=logt底(y/a的3次方)

已知变量t，y满足关系式loga底(t/a的3次方)=logt底(y/a的3次方)

考点：对数函数图象与性质的综合应用；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）把t=ax代入logat
a3
＝logty
a3
中，利用对数恒等式化简得x-3=logty
a3
，利用对数和指数的互化以及指数的运算性质，即可求得y=f（x）的表达式．
（2）f（x）=ax2−3x+3（（x≠0）=a(x−3
2
)2+3
4
（x≠0），由f（x）在[2a，3a]上具有单调性，得3a≤3
2
或2a≥3
2
，解出即可；解答：解：（1）由logat a3 ＝logty a3 ，得logat−logaa3=logty a3 ，
又t=ax，∴logaax-3=logty a3 ，即x-3=logty a3 ，
∴y a3 =tx-3=（ax）x-3=ax2−3x，
∴y=a3ax2−3x=ax2−3x+3（x≠0），
故y=f（x）=ax2−3x+3（x≠0）；
（2）∵f（x）=ax2−3x+3（x≠0）=a(x−3 2 )2+3 4 （x≠0），且f（x）在[2a，3a]上具有单调性，
∴3a≤3 2 或2a≥3 2 ，解得a≤1 2 或a≥3 4 且a≠1，
故实数a的取值范围是：（0，1 2 ]∪[3 4 ，1）∪（1，+∞）．点评：本题考查对数的运算法则和指数与对数的互化、复合函数的单调性等基础知识，

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