(n-1)(a1^4+a2^4+...+an^4)(其=3）求证：a1,a2...an中任何三数都是

(n-1)(a1^4+a2^4+...+an^4)(其=3）求证：a1,a2...an中任何三数都是

原问题可以这样简化：题目中这n个正实数大小顺序不影响不等式成立,因此可以假设他们大小为从大到小排列这样一来题目只需要证明an+a(n-1)＞a1即可.因为三正数为三角形边长的充要条件就是任意两边和大于第三边（当然也可以等价为较小两边的和大于第三边）.只要最小两个数的和大于最大的a1就行构造函数f(x）=（a1^4+a2^4+...+an^4)x²+(a1^2+a2^2+...+an^2)x+ (n-1)/4=(a1²x+1/2）²+（a2²x+1/2）²+……+（a²nx+1/2）²-1/4则方程f(x)=0的判别式δ=(a1^2+a2^2+...+an^2)^2 - (n-1)(a1^4+a2^4+...+an^4)＞0接下来只考虑f(x)＜0的部分令a²ix=Ti,那么f(x)=(T1+1/2)²+……（Tn+1/2）²-1/4,并且设b²n=1/4 -[（T1+1/2)²+……（Tn+1/2）²],bn＞0,这样方便下面描述由不等式f（x）＜0,则可以得到（Tn+1/2）²＜b²（n-1）,所以Tn∈（-1/2-b(n-1),-1/2+b(n-1)）由此可以知道x必然小于0,并且由a(n-1)＞an可以知道-1＜T(n-1)＜Tn＜0所以[1/2+T1-T(n-1)]²-b²（n-1）= [（T1+1/2)²+……（Tn-1 +1/2)²】+[1/2+T1-T(n-1)]²-1/4＞0即1/2+T1-T(n-1)＞b(n-1),所以由Tn的范围可以知道T1-T（n-1）＞Tn同除以x即得到a1-a(n-1)＜an,也就是an+a(n-1)＞a1======以下答案可供参考======供参考答案1:这两题当年都做过的，唉，都两年了，我试着看能不能回忆起来供参考答案2:只要证a1+a2>a3, 其它的同理可证。用反证法，设a1+a2号变成先证(a1^2+a2^2+a3^2)^2[a3^2-(a1^2+a2^2)]^2-4a1^2a2^2>=[(a1+a2)^2-(a1^2+a2^2)]^2-4a1^2a2^2 = 0. 成立。记M=根号[(a1^4+a2^4+a3^4)/2]，则上式得a1^2+a2^2+a3^2用柯西不等式，(a1^2+a2^2+...+an^2)^2因此反证法完成！至于补充问题：先将U平方，展开式中出现三个根式，对每个根式用二维柯西不等式，即：根号下[(x^2+4)(y^2+9)]>=xy+6, 根号下[(y^2+9)(z^2+16)]>=yz+12,根号下[(x^2+4)(z^2+16)]>=xz+8, 所以，U^2>=(x+y+z)^2 + 29+26 ＝常数，且等号时x:y:z=2:3:4，等式能成立，所以得出最小值。供参考答案3:补充问题：将U平方，展开式中出现三个2倍根式，对每个根式用二维柯西不等式，即：2倍根号下[(x^2+4)(y^2+9)]>=2(xy+6), 2倍 根号下[(y^2+9)(z^2+16)]>=2（yz+12）,2倍根号下[(x^2+4)(z^2+16)]>=2（xz+8）, 所以，U^2>=(x+y+z)^2 + 29+52 ＝442，且等号时x:y:z=2:3:4，等式能成立，所以得出最小值U=根号442 楼上二位人才难得 在此向你们献礼！

对的，就是这个意思

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