正数a、b满足a+b=2，求S=根号下（a平方+4）+根号下（b平方+1）的最小值。
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解决时间 2021-02-04 22:29
- 提问者网友：轻浮
- 2021-02-04 05:55
正数a、b满足a+b=2，求S=根号下（a平方+4）+根号下（b平方+1）的最小值。
最佳答案
- 五星知识达人网友：冷風如刀
- 2021-02-04 07:30
根据柯西不等式：√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2] ，等号成立条件：ad=bc。
所以：
√(a^2+2^2)+√(b^2+1^2)≥√[(a+b)^2+(2+1)^2] = √13
即所求最小值为√13，取到最小值时，a = 2b，所以 a = 4/3，b = 2/3。
附上柯西不等式的证明：
[√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2
= a^2+b^2+c^2+d^2+2·√(a^2+b^2)·√(c^2+d^2)
≥a^2+b^2+c^2+d^2+2|ac+bd|
≥a^2+b^2+c^2+d^2+2(ac+bd)
=a^2+2ac+c^2+b^2+2bd+d^2
=(a+c)^2+(b+d)^2
两边开根号即得 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]
希望对你有所帮助。
所以：
√(a^2+2^2)+√(b^2+1^2)≥√[(a+b)^2+(2+1)^2] = √13
即所求最小值为√13，取到最小值时，a = 2b，所以 a = 4/3，b = 2/3。
附上柯西不等式的证明：
[√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2
= a^2+b^2+c^2+d^2+2·√(a^2+b^2)·√(c^2+d^2)
≥a^2+b^2+c^2+d^2+2|ac+bd|
≥a^2+b^2+c^2+d^2+2(ac+bd)
=a^2+2ac+c^2+b^2+2bd+d^2
=(a+c)^2+(b+d)^2
两边开根号即得 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]
希望对你有所帮助。
全部回答
- 1楼网友：冷風如刀
- 2021-02-04 08:46
支持一下感觉挺不错的
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