【三角形abc中】已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点,(1)如图,E,F...

【三角形abc中】已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点,(1)如图,E,F...

【答案】 （1）证明：连接AD，
　　∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，
　　∴AD⊥BC，BD=AD．
　　∴∠B=∠DAC=45°
　　又BE=AF，
　　∴△BDE≌△ADF（SAS）．
　　∴ED=FD，∠BDE=∠ADF．
　　∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°．
　　∴△DEF为等腰直角三角形．
　　（2）△DEF为等腰直角三角形．
　　证明：若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示：
　　连接AD，
　　∵AB=AC，
　　∴△ABC为等腰三角形，
　　∵∠BAC=90°，D为BC的中点，
　　∴AD=BD，AD⊥BC（三线合一），
　　∴∠DAC=∠ABD=45°．
　　∴∠DAF=∠DBE=135°．
　　又AF=BE，
　　∴△DAF≌△DBE（SAS）．
　　∴FD=ED，∠FDA=∠EDB．
　　∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°．
　　∴△DEF仍为等腰直角三角形．
【问题解析】
（1）先连接AD，构造全等三角形△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；（2）还是证明△BED≌△AFD，主要证∠DAF=∠DBE（∠DBE=180°-45°=135°，∠DAF=90°+45°=135°），再结合两组对边对应相等，所以两个三角形全等． 名师点评 本题考点 等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质．
【本题考点】
等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质．

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