已知定义在R上的函数f（x）对任意的实数x1，x2满足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+2，数列{an}满足a1=0，且对任意n∈N*，an=f（n），则f（

已知定义在R上的函数f（x）对任意的实数x1，x2满足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+2，数列{an}满足a1=0，且对任意n∈N*，an=f（n），则f（2010）=A.4012B.4018C.2009D.2010

B解析分析：分别令n=1，2，3，4，求出a1，a2，a3，a4，总结规律得到{an}是首项为0，公差为2的等差数列，由此能求出f（2010）=a2010的值．解答：a1=0，a2=f（2）=f（1）+f（1）+2=0+0+2=2，a3=f（3）=f（2）+f（1）+2=2+2=4，a4=f（4）=f（3）+f（1）+2=4+2=6，…∴{an}是首项为0，公差为2的等差数列．∴an=2n-2．用数学归纳法证明如下：（1）当n=1时，a1=2×1-2=0，结论成立．（2）假设n=k时，结论成立，即ak=2k-2，则当n=k+1时，ak+1=f（k+1）=f（k）+f（1）+2=2k-2+2=2k，结论也成立，由（1）、（2）知，an=2n-2．∴a2010=f（2010）=2×2010-2=4018．故选B．点评：本题考查数列的递推公式，解题时要认真审题，仔细解答，注意总结规律．

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