求答案！全解设A为n×n矩阵。证明：如果A方＝E，则秩（A+E）+秩（A-E）＝n。
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解决时间 2021-12-20 14:58
- 提问者网友：皆是孤独
- 2021-12-20 00:08
求答案！全解设A为n×n矩阵。证明：如果A方＝E，则秩（A+E）+秩（A-E）＝n。
最佳答案
- 五星知识达人网友：不甚了了
- 2021-12-20 01:33
证: 由A^2=E， 得 (A+E)(A-E)=0
所以 r(A+E)+r(A-E) ≤ n
又 |A^2|=|A|*|A|=1， 即|A|≠0，r(A)=n
所以 n=r(2A)=r[(A+E)+(A-E)] ≤ r(A-E)+r(A+E)
所以 r(A)+r(A+E)=n
知识点:
1. AB=0 则 r(A)+r(B) ≤ n
2. r(A+B) ≤ r(A)+r(B)
所以 r(A+E)+r(A-E) ≤ n
又 |A^2|=|A|*|A|=1， 即|A|≠0，r(A)=n
所以 n=r(2A)=r[(A+E)+(A-E)] ≤ r(A-E)+r(A+E)
所以 r(A)+r(A+E)=n
知识点:
1. AB=0 则 r(A)+r(B) ≤ n
2. r(A+B) ≤ r(A)+r(B)
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- 1楼网友：人類模型
- 2021-12-20 01:53
就是证明？那倒简单，用夹逼就是了。
若a*2=e，秩（a+e)+秩（a-e)显然不等于n。
所以a^2=e或a*a=e.
证：
因为(a-e)(a+e)=0 所以 r(a-e)+r(a+e)-n<=r(a-e)(a+e)所以r(a-e)+r(a+e)<=n；
同时r(e-a)=r(a-e)，r(a-e)+r(a+e)>=r(e-a+a+e)=r(2e)=n;
综上可得(a-e)+r(a+e)=n，证必。
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