2012年高一希望杯数学竞赛试题

2012年高一希望杯数学竞赛试题
园O与圆D相交于A,B两点,BC是圆D的切线,点C在圆O上,且AB=BC,若三角形ABC面积为S,则圆D的半径最小值是

设圆O的半径为a,BO的延长线交AC于点E,易知BE⊥AC．
设AC=2y（0＜y≤a）,OE=x,AB=l,则a2=x2+y2,S=y（a+x）,
l2=y2+（a+x）2=y2+a2+2ax+x2=2a2+2ax=2a（a+x）=2aS/ y
因为∠ABC=2∠OBA=2∠OAB=∠BDO,AB=BC,DB=DO,
所以△BDO∽△ABC,所以BD/AB =BO /AC ,即r/l =a/2y ,故r=al /2y ．
所以r2= a2l2 /4y2 = a2 /4y2 - 2aS /y = S /2 -( a /y )3≥ S /2 ,
即r≥ 2S /2 ,其中等号当a=y时成立,这时AC是圆O的直径．所以圆D的半径r的最小值为 （根号2S）/2
再问： DB=DO？ 当a=y时， a /y 不就等于1了吗，S /2 -( a /y )3不就等于S /2 -3了吗
再答： 　　AB=BC,所以△OBA∽△OBC，从而∠OBA=∠OBC　　因为OD⊥AB，DB⊥BC，所以∠DOB=90°-∠OBA=90°-∠OBC=∠DBO　　所以DB=DO，因此点O在圆D的圆周上

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