若实数abc满足 a+b+c=a^2+b^2+c^2,则a+b+c的最大值
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解决时间 2021-01-24 20:53
- 提问者网友：回忆在搜索
- 2021-01-24 02:05
若实数abc满足 a+b+c=a^2+b^2+c^2,则a+b+c的最大值
最佳答案
- 五星知识达人网友：北城痞子
- 2021-01-24 02:33
^实数abc
a+b+c=a^e68a84e799bee5baa6313333303535652+b^2+c^2移项，得：
a^2+b^2+c^2-a-b-c=0两遍加3/4，得：
a^2-a+1/4+b^2-b+1/4+c^2-c+1/4=3/4构成平方，得：
（a-1/2）^2+（b-1/2）^2+（c-1/2）^2=3/4 [1]式子
需要用到√[(a^2+b^2+c^2)/3]>=(a+b+c)/3变形：（此后证明在结尾）
(a^2+b^2+c^2)/3>=[(a+b+c)/3]^2再变形：
(a^2+b^2+c^2)>=3*[(a+b+c)/3]^2把[1]式子套用公式得：
3/4=（a-1/2）^2+（b-1/2）^2+（c-1/2）^2>=3*[（a-1/2+b-1/2+c-1/2）/3]^2变形：
3/4>=[(a+b+c-3/2)^2]/3再变形：
(a+b+c-3/2)^2<=9/4
所以a+b+c<=3/2+3/2=3即为所求。
若有错误，请多多指教~
对了,还有证明：√[(a^2+b^2+c^2)/3]>=(a+b+c)/3
证明：因为(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0
展开2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac>=0
2a^2+2b^2+2c^2>=2ab+2bc+2ac
同时加a^2+b^2+c^2
a^2+b^2+c^2+2a^2+2b^2+2c^2>=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac
3(a^2+b^2+c^2)>=(a+b+c)^2
(a^2+b^2+c^2)/3>=(a+b+c)^2/9
若a+b+c<0, 则√[(a^2+b^2+c^2)/3]>(a+b+c)/3肯定成立
若a+b+c>=0则开方
√[(a^2+b^2+c^2)/3]>=(a+b+c)/3 综上
√[(a^2+b^2+c^2)/3]>=(a+b+c)/3
当a=b=c且大于0时取到
a+b+c=a^e68a84e799bee5baa6313333303535652+b^2+c^2移项，得：
a^2+b^2+c^2-a-b-c=0两遍加3/4，得：
a^2-a+1/4+b^2-b+1/4+c^2-c+1/4=3/4构成平方，得：
（a-1/2）^2+（b-1/2）^2+（c-1/2）^2=3/4 [1]式子
需要用到√[(a^2+b^2+c^2)/3]>=(a+b+c)/3变形：（此后证明在结尾）
(a^2+b^2+c^2)/3>=[(a+b+c)/3]^2再变形：
(a^2+b^2+c^2)>=3*[(a+b+c)/3]^2把[1]式子套用公式得：
3/4=（a-1/2）^2+（b-1/2）^2+（c-1/2）^2>=3*[（a-1/2+b-1/2+c-1/2）/3]^2变形：
3/4>=[(a+b+c-3/2)^2]/3再变形：
(a+b+c-3/2)^2<=9/4
所以a+b+c<=3/2+3/2=3即为所求。
若有错误，请多多指教~
对了,还有证明：√[(a^2+b^2+c^2)/3]>=(a+b+c)/3
证明：因为(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0
展开2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac>=0
2a^2+2b^2+2c^2>=2ab+2bc+2ac
同时加a^2+b^2+c^2
a^2+b^2+c^2+2a^2+2b^2+2c^2>=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac
3(a^2+b^2+c^2)>=(a+b+c)^2
(a^2+b^2+c^2)/3>=(a+b+c)^2/9
若a+b+c<0, 则√[(a^2+b^2+c^2)/3]>(a+b+c)/3肯定成立
若a+b+c>=0则开方
√[(a^2+b^2+c^2)/3]>=(a+b+c)/3 综上
√[(a^2+b^2+c^2)/3]>=(a+b+c)/3
当a=b=c且大于0时取到
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- 1楼网友：毛毛
- 2021-01-24 03:40
a的最大值是2..你假设a为2 2的平方+1的平方+1的平方=6 4+1+1=6
a如是3的话就边成9了 条件给的是最大值 现有条件又没说abc相等 所以a=2 是正解
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