已知实数abcd,满足a2+b2=1,c2+d2=9,则ac+bd的最小值

已知实数abcd,满足a2+b2=1,c2+d2=9,则ac+bd的最小值

∵a²+b²=1,c²+d²=9
∴可设a=sinα,b=cosα,c=3sinβ,d=3cosβ
∴ac+bd
=3(cosαcosβ+sinαsinβ)
=3cos(α-β)∈[-3,3]
∴ac+bd的最小值为-3，最大值为3
法2 柯西不等式
（a²+b²）(c²+d²)≥(ac+db)²
∴(ac+bd)²≤9
∴|ac+bd|≤3
∴-3≤ac+bd≤3
∴ac+bd的最小值为-3，最大值为3

∵a²+b²=1,c²+d²=9 ∴可设a=sinα,b=cosα,c=3sinβ,d=3cosβ ∴ac+bd =3(cosαcosβ+sinαsinβ) =3cos(α-β)∈[-3,3] ∴ac+bd的最小值为-3，最大值为3 法2 柯西不等式 （a²+b²）(c²+d²)≥(ac+db)² ∴(ac+bd)²≤9 ∴|ac+bd|≤3 ∴-3≤ac+bd≤3 ∴ac+bd的最小值为-3，最大值为3

首先由等式a2+b2=x2，c2+d2=y2求证xy≥ac+bd．把已知条件代入得到x2y2=（a2+b2）（c2+d2），展开再根据基本不等式证明求解，即可得到结果．  

解：∵（ac+bd）2=（ac）2+（bd）2+2abcd ≤（ac）2+（bd）2+（ad）2+（bc）2 =（a2+b2）（c2+d2）=2

∴|ac+bd|≤2，即-2≤ac+bd≤2 当且仅当ad=bc，即ca=db=2时取最大值2

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