f(X)=xlnx,g(X)=-X2+aX-2,若函数y=f(x)与g(x)的图像恰有一个公共点,求a的值

f(X)=xlnx,g(X)=-X2+aX-2,若函数y=f(x)与g(x)的图像恰有一个公共点,求a的值

f(x)与g(x)的图像恰有一个公共点
因为都是光滑曲线
所以在交点处两曲线各自切线斜率也相等
就是导数相等
就是f'(x0)=g'(x0)
就是lnx0+1=-2x0+a ①
还有f（x0)=g(x0)
就是x0lnx0=-x0²+ax0-2 ②
消去a，就有x0²+x0-2=0解得x0=-2(舍去）或x0=1
把x0=1代入①或②
解得
a=3

（i）∵函数g（x）=f（x）+x2+ax+2有零点， ∴g（x）=xlnx+x2+ax+2在（0，+∞）上有实数根． 即-a=lnx+x+ 2 x 在（0，+∞）上有实数根． 令h（x）=lnx+x+ 2 x ，（x＞0），则h′(x)＝ 1 x +1? 1 x2 = (x+2)(x?1) x2 ． 解h′（x）＜0，得0＜x＜1；解h′（x）＞0，得x＞1． ∴h（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增． ∴h（x）在x=1时取得极小值，即最小值h（1）=3． ∴-a≥3，解得a≤-3．∴实数a的最大值为-3． （ii）∵?x＞0， f(x) x ≤x-kx2-1恒成立， ∴lnx≤x-1-kx2，即k≤ 1 x2 (x?1?lnx)． 令g（x）=x-1-lnx，x＞0． g′(x)＝1? 1 x = x?1 x ， 令g′（x）＞0，解得x＞1，∴g（x）在区间（1，+∞）上单调递增； 令g′（x）＜0，解得0＜x＜1，∴g（x）在区间（0，1）上单调递减． ∴当x=1时，g（x）取得极小值，即最小值，∴g（x）≥g（1）=0， ∴k≤0，即实数k的取值范围是（-∞，0]．

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