高阶非齐次线性微分方程y''-y=sinx^2怎么解

高阶非齐次线性微分方程y''-y=sinx^2怎么解

如果是y''-y=(sinx)^2原方程可化为y''-y=(1-cos2x)/2
y''-y=1/2-(1/2)cos2x
①y''-y=0
特征方程：r^2-1=0
r1=1，r2=-1
通解：y=C1*e^x+C2*e^(-x)
②y''-y=1/2-(1/2)cos2x
设特解为y=a+b*cos2x+c*sin2x
y'=-2b*sin2x+2c*cos2x
y''=-4b*cos2x-4c*sin2x
(-4b*cos2x-4c*sin2x)-(a+b*cos2x+c*sin2x)=1/2-(1/2)cos2x
-a-5b*cos2x-5c*sin2x=1/2-(1/2)cos2x
-a=1/2，-5b=-(1/2)，-5c=0
a=-1/2，b=1/10，c=0
特解为y=-1/2+(1/10)*cos2x

综上所述，原方程的通解为y=C1*e^x+C2*e^(-x)-1/2+(1/10)*cos2x

左右同乘e^-x 左边正好是全微分 (e^(-x) y')'=e^(-x)(sinx)^2 所以d(e^(-x) y')=e^(-x)(sinx)^2 dx 积分 ∫d(e^(-x) y')=∫e^(-x)(sinx)^2 dx e^(-x)y'=∫e^(-x) (1-cos2x)/2 dx =(1/2)∫e^(-x)dx-(1/2)∫e^(-x)cos2x dx =-(1/2)e^(-x)-[(1/4)e^(-x)sin2x+(1/4)∫e^(-x)sin2x dx] =-(1/2)e^(-x)-[(1/4)e^(-x)sin2x-(1/8)e^(-x)cos2x-(1/8)∫e^(-x)cos2x dx] 所以∫e^(-x)cos2x dx=e^(-x)(2sin2x-cos2x)/5 +c e^(-x)y'=-(1/2)e^(-x)-e^(-x)(2sin2x-cos2x)/10 +c1 y'=-(1/2)-(2sin2x-cos2x)/10 +c1e^(x) 再积一次分 y=-(1/2)x+cos2x/10+sin2x/20+c1e^(x)+c2

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